Binomial Model 二叉树模型

一句话定义

一种基于 no-arbitrage 原理的期权定价模型：假设标的资产在一个周期内只有上涨或下跌两种可能，通过构建无风险对冲组合或使用风险中性概率来确定期权的当前价值。

概念解析 Explanation

Binomial model 的核心假设非常简单：在下一个时期，标的资产价格只有两种可能的结果（binomial = 二项）。尽管简单，这个模型包含了 option pricing 的所有核心思想：

1. No-arbitrage：通过 replication 确定唯一合理价格
2. Risk-neutral valuation：不需要知道真实的涨跌概率
3. Hedging：可以构建无风险组合

两种等价方法

方法	核心思想	适用场景
Hedge Ratio 法	构建无风险组合 → 折现求期权价格	理解套利/对冲逻辑
Risk-Neutral Probability 法	用伪概率加权期望 payoff → 折现	快速计算，考试首选

两种方法给出完全相同的结果，因为它们都基于同一个 no-arbitrage 条件。

核心公式 Formula

基本设定

• $S_0$ = 当前股价
• $R^u$ = up-move factor（上涨系数），$S^u=S_0\times R^u$
• $R^d$ = down-move factor（下跌系数），$S^d=S_0\times R^d$
• $Rf$ = 一期无风险利率

Risk-Neutral Probabilities

${\pi }_U=\frac{1+Rf-R^d}{R^u-R^d}{\pi }_D=1-{\pi }_U$

Option Value

$c_0=\frac{{\pi }_U\times c^u+{\pi }_D\times c^d}{1+Rf}$

$p_0=\frac{{\pi }_U\times p^u+{\pi }_D\times p^d}{1+Rf}$

其中：

• $c^u=\max (0,S^u-X)$，$c^d=\max (0,S^d-X)$
• $p^u=\max (0,X-S^u)$，$p^d=\max (0,X-S^d)$

Hedge Ratio

Call option：$h=\frac{c^u-c^d}{S^u-S^d}$

Put option：$h=\frac{p^d-p^u}{S^u-S^d}$（注意分子顺序）

图解 Visual

flowchart LR
    subgraph Today["t = 0"]
        S0["S₀"]
    end
    subgraph Period1["t = 1"]
        Su["S^u = S₀ x R^u"]
        Sd["S^d = S₀ x R^d"]
    end
    S0 -->|"概率 π_U"| Su
    S0 -->|"概率 π_D"| Sd

    subgraph CallPayoff["Call Payoff"]
        Cu["c^u = max(0, S^u - X)"]
        Cd["c^d = max(0, S^d - X)"]
    end
    Su --> Cu
    Sd --> Cd

计算示例 Worked Example

例题：完整的 Call Option 定价

已知条件：$S_0=30$，$R^u=1.15$，$R^d=0.87$，$Rf=7\%$，$X=30$（European call）

Step 1 — 计算到期时股价：

• $S^u=30\times 1.15=34.50$
• $S^d=30\times 0.87=26.10$

Step 2 — 计算风险中性概率： ${\pi }_U=\frac{1.07-0.87}{1.15-0.87}=\frac{0.20}{0.28}=0.7143$ ${\pi }_D=1-0.7143=0.2857$

Step 3 — 计算期权 payoff：

• $c^u=\max (0,34.50-30)=4.50$
• $c^d=\max (0,26.10-30)=0$

Step 4 — 计算期权价值： $c_0=\frac{0.7143\times 4.50+0.2857\times 0}{1.07}=\frac{3.2143}{1.07}=3.00$

同条件下的 Put Option

Step 3 — Put payoff：

• $p^u=\max (0,30-34.50)=0$
• $p^d=\max (0,30-26.10)=3.90$

Step 4 — Put value： $p_0=\frac{0.7143\times 0+0.2857\times 3.90}{1.07}=\frac{1.114}{1.07}=1.04$

验证 Put-Call Parity：

• $c+PV(X)=3.00+30/1.07=3.00+28.04=31.04$
• $p+S=1.04+30=31.04$ ✓

考试要点 Exam Focus

高频考点

1. 给定参数计算期权价值 — 最常见的题型，按 4 步走即可
2. 风险中性概率不是真实概率 — 这是概念题的考点
3. 不需要真实涨跌概率 — 模型只需 $R^u$、$R^d$、$Rf$
4. Hedge ratio 的含义 — 对冲一份期权需要持有的标的股数

易错点

• $R^d$ 不一定等于 1/R^u$（但考试中经常设定为$R^d = 1/R^u$）
• 确保 $R^d<1+Rf<R^u$，否则有套利机会（模型前提不成立）
• Call 的 hedge portfolio 是 long stock + short call；Put 的是 long stock + long put
• 风险中性概率一定在 0 和 1 之间

涉及科目 Appears In

• 衍生品 Derivatives — R75: Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model

相关概念 Related Concepts

• Put-Call Parity — Binomial model 的结果必须满足 put-call parity
• Forward Pricing — Forward price 可视为 binomial model 中 risk-neutral expected stock price 的现值
• 风险溢价 — Risk-neutral pricing 消除了 risk premium，用 Rf 折现
• TVM — 最后一步折现就是 TVM