衍生品 Derivatives

考试占比 Exam Weight: 5-8% | Readings: 66-75

科目概览 Overview

衍生品科目围绕 Forward Commitments 和 Contingent Claims 两大类工具展开，核心逻辑是无套利定价 (No-Arbitrage) 和复制 (Replication)。前半部分 (R66-R68) 建立分类框架和风险收益特征；后半部分 (R69-R75) 聚焦定价与估值——从 Cost of Carry 到 Put-Call Parity 再到 Binomial Model。本科目计算量集中，需要联动数量方法的 TVM 和固定收益的利率概念。

graph LR
  ROOT((衍生品 Derivatives))
  ROOT --- A[Forward Commitments]
  A --- A1(Forwards)
  A --- A2(Futures)
  A --- A3(Swaps)
  ROOT --- B[Contingent Claims]
  B --- B1[Options]
  B1 --- B1a(Call)
  B1 --- B1b(Put)
  B --- B2(Credit Default Swaps)
  ROOT --- C[定价原理]
  C --- C1(No-Arbitrage)
  C --- C2(Replication)
  C --- C3(Cost of Carry)
  ROOT --- D[估值模型]
  D --- D1(Forward Valuation)
  D --- D2(Put-Call Parity)
  D --- D3(Binomial Model)
  ROOT --- E[应用]
  E --- E1(Hedging)
  E --- E2(Speculation)
  E --- E3(Information Discovery)

本科目的核心逻辑链：衍生品的价格由 no-arbitrage 条件决定 — 如果两个组合在未来任何情况下都有相同的 payoff，那它们今天必须有相同的价格。这一原则贯穿所有定价公式。

R66: Derivative Instrument and Derivative Market Features

什么是衍生品 What Is a Derivative

衍生品 (derivative) 是一种金融工具，其价值来源于 (derives from) 另一个资产或变量的价值。那个决定衍生品价值的资产或变量被称为 标的资产 (underlying)。

衍生品合约的基本要素：

Underlying — 标的资产（股票、债券、指数、利率、商品、货币等）
Forward price / exercise price — 合约中约定的价格
Settlement date — 交割/结算日期
Contract size — 合约规模

关键特征：合约签订时（initiation），其价值通常为零（forward commitments），双方都不需要支付费用。Options 是例外 — 买方需支付 premium。

结算方式 Settlement Methods

方式	描述	举例
Deliverable 实物交割	到期时实际交换标的资产和现金	买方支付约定价格，卖方交付股票
Cash-settled 现金结算	只交换合约产生的盈亏差额	若标的涨了 10，卖方支付 10 给买方

两种方式在经济效果上等价（economically equivalent）。

市场结构 Market Structure

flowchart LR
    subgraph ETD["交易所交易 Exchange-Traded"]
        A[标准化合约] --> B[中央清算所 CCH]
        B --> C[低对手方风险]
        C --> D[高流动性 & 透明度]
    end
    subgraph OTC["场外交易 Over-the-Counter"]
        E[定制化合约] --> F[对手方风险]
        F --> G[低流动性 & 低透明度]
    end
    ETD -.-> |2008后监管要求| CCP[Central Counterparty]
    OTC -.-> |部分需通过| CCP

Exchange-traded derivatives (ETD):

标准化、中央清算所担保、高流动性
中央清算所 (CCH) 通过 novation（合约更替）成为每笔交易双方的对手方
要求双方缴纳保证金 (margin deposits)

Over-the-counter (OTC) derivatives:

可定制条款（合约大小、到期日、标的等）
存在 counterparty credit risk（对手方违约风险）
2008 金融危机后，监管要求部分 OTC 衍生品（主要是 swaps）通过 Central Counterparty (CCP) 清算
Swap Execution Facility (SEF) — 交易商记录 swap 交易的平台

必考对比

ETD vs OTC 的区别是高频考点：标准化 vs 定制化、清算所 vs 对手方风险、高流动性 vs 低流动性。

R67: Forward Commitment and Contingent Claim Features and Instruments

两大分类 Two Categories

类别	定义	代表工具
Forward Commitment 远期承诺	在未来某日按约定条件执行交易的法律义务	Forwards, Futures, Swaps
Contingent Claim 或有索取权	Payoff 取决于某个事件是否发生	Options, CDS

核心区别：Forward commitment 是 obligation（双方必须执行），而 contingent claim 给持有者 right（可以选择不执行）。

Forward Contracts 远期合约

双方约定在未来某日以约定价格买卖标的资产的 OTC 合约。

Buyer (long)：看涨标的 → $S_{T} > F_{0}$ 时获利
Seller (short)：看跌标的 → $S_{T} < F_{0}$ 时获利
Zero-sum game：一方的盈利 = 另一方的亏损
签约时价值为零（forward price 被设定使合约对双方公平）

Futures Contracts 期货合约

与 forward 类似，但有关键区别：

特征	Forwards	Futures
交易场所	OTC（场外）	Exchange（交易所）
标准化	定制化	标准化
对手方风险	有	极低（CCH 担保）
流动性	较低	较高
结算方式	到期一次结算	每日盯市 (daily mark-to-market)
保证金	视合约而定	必须缴纳

Margin 机制（期货特有）：

Initial margin 初始保证金 — 开仓时缴纳的保证金，约为合约价值的 3%-12%
Maintenance margin 维持保证金 — 保证金余额的最低限额
Margin call — 当余额低于 maintenance margin 时，须追加至 initial margin 水平
Mark-to-market — 每日按结算价调整保证金账户

易错点：Futures margin call vs Equity margin call

Futures：必须补到 initial margin 水平

Equity：只需补到 maintenance margin 水平这是一个经典的考试陷阱！

数值例题：Mark-to-Market

某黄金期货合约 100 盎司，initial margin = 5,000，maintenance margin = 4,700。Day 0 价格 1,950/盎司。

日期	结算价	价格变动	买方保证金变动	买方保证金余额	需追加？
Day 0	1,950	-	-	5,000	-
Day 1	1,947.50	-2.50	-250	4,750	否 (>4,700)
Day 2	1,945	-2.50	-250	4,500	是 (追加 500)
Day 2 补保证金后	-	-	+500	5,000	-

Day 2 保证金余额 4,500 < maintenance 4,700，触发 margin call，需补至 5,000。

Swaps 互换

Swap 是双方约定在多个结算日交换一系列支付的协议。最常见的是 利率互换 (interest rate swap)。

Fixed-for-floating interest rate swap 的基本结构：

一方支付固定利率，另一方支付浮动利率（基于 MRR，如 SOFR）
基于 notional principal（名义本金）计算，本金不实际交换
每个结算日只交换净额 (net payment)
签约时 swap rate（固定利率）被设定使合约价值为零

数值例题：Interest Rate Swap

Notional = 10M，固定利率 2%，浮动利率 = 90-day SOFR，季度支付。

固定方每季度支付：10M x 0.02 / 4 = 50,000
若第一季度末 SOFR = 1.6%，浮动方支付：10M x 0.016 / 4 = 40,000
净支付：固定方支付 50,000 - 40,000 = 10,000 给浮动方

核心洞察：Swap = 一系列 Forward contracts。每个结算日的支付都等价于一个 FRA 的 payoff。

Credit Default Swap (CDS)

CDS 是一种特殊的 swap，属于 contingent claim（而非 forward commitment）：

Protection buyer（保护买方）定期支付固定费用
Protection seller（保护卖方）仅在发生 credit event（违约、破产、重组）时才支付
经济本质：对参考债券违约风险的保险

Options 期权

特征	Call Option 看涨期权	Put Option 看跌期权
买方权利	以 X 价格买入标的	以 X 价格卖出标的
卖方义务	以 X 价格卖出标的	以 X 价格买入标的
买方看法	看涨 (bullish)	看跌 (bearish)
初始成本	支付 premium	支付 premium

Option Payoff 公式（到期时）：

$Call payoff = max (0, S_{T} - X)$

$Put payoff = max (0, X - S_{T})$

Profit = Payoff - Premium

四种基本 Option Position 的损益对比：

Position	最大盈利	最大亏损	Breakeven
Long Call	无限	Premium (c)	X + c
Short Call	Premium (c)	无限	X + c
Long Put	X - p (接近 X)	Premium (p)	X - p
Short Put	Premium (p)	X - p (接近 X)	X - p

记忆技巧

Long position 的 最大亏损 = premium（最多亏掉买期权的钱）

Short position 的 最大盈利 = premium（最多赚到卖期权收的钱）

Call 的 breakeven = X + premium；Put 的 breakeven = X - premium

数值例题：Option Profit Calculation

一只股票的 call 和 put 期权，exercise price X = 40，call premium = 3，put premium = 0.75。

场景 1：到期时 S = 35

Long call：payoff = max(0, 35-40) = 0，profit = 0 - 3 = -3
Short call：profit = 3 - 0 = +3
Long put：payoff = max(0, 40-35) = 5，profit = 5 - 0.75 = +4.25
Short put：profit = 0.75 - 5 = -4.25

场景 2：到期时 S = 43

Long call：payoff = max(0, 43-40) = 3，profit = 3 - 3 = 0 (breakeven)
Short call：profit = 3 - 3 = 0
Long put：payoff = max(0, 40-43) = 0，profit = 0 - 0.75 = -0.75
Short put：profit = 0.75 - 0 = +0.75

Exposure 方向总结

flowchart LR
    subgraph 看涨标的["Long Exposure 看涨"]
        A[Long Forward/Futures]
        B[Long Call]
        C[Short Put]
    end
    subgraph 看跌标的["Short Exposure 看跌"]
        D[Short Forward/Futures]
        E[Long Put]
        F[Short Call]
    end

R68: Derivative Benefits, Risks, and Issuer and Investor Uses

衍生品的优势 Advantages

1. Risk Management 风险管理

转移、对冲 (hedge) 或改变风险敞口
创造现金市场无法获得的风险暴露（如买 put 设定价格下限）

2. Information Discovery 信息发现

期权价格可推算出市场对未来波动率的预期（implied volatility）
期货/远期价格反映市场对未来现货价格的预期

3. Operational Advantages 运营优势

做空便利 — 卖出 forward/futures 即可做空
低交易成本 — 尤其大宗商品衍生品
高杠杆 — 用少量保证金控制大量资产
高流动性 — 大额交易更容易执行

4. Market Efficiency 市场效率

低成本 + 高杠杆 + 做空便利 → 促进价格发现和套利，提高市场效率

衍生品的风险 Risks

风险类型	描述
Implicit leverage 隐性杠杆	小保证金控制大资产，亏损可能远超初始投入
Basis risk 基差风险	对冲工具的标的与被对冲资产不完全匹配
Liquidity risk 流动性风险	衍生品的现金流时点与被对冲头寸不匹配（如 margin call）
Counterparty credit risk 对手方信用风险	OTC 合约中对手方可能违约
Systemic risk 系统性风险	过度投机可能影响整个金融体系

必考：各种风险的区别

Basis risk 侧重”对冲不精确”

Liquidity risk 侧重”现金流时点错配”

Counterparty risk 侧重”对方不付钱”

发行方 vs 投资者的使用 Issuers vs Investors

**Issuers（企业发行方）**使用衍生品管理：

外汇风险（用 forwards 锁定汇率）
利率风险（用 swaps 将浮动利率转为固定利率）
存货价值波动（用 forwards 对冲商品价格变化）
会计处理：Hedge accounting 允许同时确认衍生品和被对冲项目的损益
- Cash flow hedge — 对冲未来现金流的不确定性
- Fair value hedge — 对冲资产/负债公允价值变动
- Net investment hedge — 对冲海外子公司权益的汇率变动

**Investors（投资者）**使用衍生品：

对冲组合风险（买 put 保护下行风险）
改变风险暴露（买 equity index futures 增加市场敞口）
获得杠杆（用少量资金建立大额头寸）

R69: Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

核心思想

衍生品定价的基础不是预测未来价格，而是 no-arbitrage condition — 两个有相同未来 payoff 的组合，今天必须有相同的价格。

Arbitrage 套利

Arbitrage = 同时买入和卖出具有相同未来 payoff 的资产组合，获得无风险利润。

如果两个组合未来 payoff 相同但今天价格不同 → 套利机会
套利者的行为会推动价格回归 no-arbitrage 水平
交易成本的存在允许小幅偏差持续存在

Replication 复制

Replication = 用现货市场交易构建一个与衍生品具有完全相同 payoff 的组合。

以 Forward Pricing 为例：

Long forward 的复制：借钱（利率 Rf）买入标的资产 → 到期 payoff = $S_{T} - S_{0} (1 + R f)^{T}$
Short forward 的复制：卖空标的资产，将所得投资于无风险利率 → 到期 payoff = $S_{0} (1 + R f)^{T} - S_{T}$

由 no-arbitrage 条件，forward price 必须等于复制组合的成本。

Forward Price 推导（无持有成本/收益）

$F_{0} (T) = S_{0} \times (1 + R f)^{T}$

直觉理解：Forward price = 今天买入标的并持有到期的总成本（含资金机会成本）。

数值例题

股票现价 $S_{0} = 30$ ，无股利，1年期无风险利率 5%。

$F_{0} (1) = 30 \times 1.05 = 31.50$

若 $F_{0} = 32 > 31.50$ （forward price “太高”）：

卖出 forward，借 30 买入股票
到期：交付股票收到 32，还贷 31.50 → 套利利润 = 0.50

若 $F_{0} = 31 < 31.50$ （forward price “太低”）：

买入 forward，卖空股票获 30，投资于无风险利率
到期：收到 31.50，通过 forward 以 31 买入股票平仓 → 套利利润 = 0.50

Cost of Carry 持有成本

当持有标的资产有额外成本或收益时，需要调整 forward price：

一般公式（离散复利）：

$F_{0} (T) = [S_{0} + P V_{0} (costs) - P V_{0} (benefits)] \times (1 + R f)^{T}$

Costs of holding — 存储费、保险费（主要针对大宗商品）→ 增加 forward price
Benefits of holding — 股利、利息、convenience yield → 降低 forward price

核心规律

持有成本越高 → forward price 越高

持有收益越高 → forward price 越低

Convenience yield（便利收益）：持有实物资产的非货币性收益（如短缺时可出售获利），降低 forward price

连续复利版本：

场景	Forward Price
无持有成本/收益	$F_{0} = S_{0} e^{r T}$
有存储成本 (rate = c)	$F_{0} = S_{0} e^{(r + c) T}$
有持续股利收益 (rate = b)	$F_{0} = S_{0} e^{(r + c - b) T}$

数值例题：连续复利

股票指数 = 1,550，连续复利股利率 1.3%，连续复利无风险利率 3%。

6个月 forward price = 1{,}550 \times e^{(0.03 - 0.013) \times 0.5} = 1{,}550 \times e^{0.0085} = 1{,}563.23$

Currency Forward 货币远期

$Forward rate (p/b) = Spot rate \times \frac{1 + r _{price currency}}{1 + r _{base currency}}$

这本质上就是 covered interest rate parity（抛补利率平价）。

数值例题

USD/EUR spot = 1.10， $r_{U S D}$ = 2%， $r_{E U R}$ = 3%。

$Forward = 1.10 \times \frac{1.02}{1.03} = 1.0893$

高利率货币（EUR）在 forward 市场上贬值，低利率货币（USD）升值。

R70: Pricing and Valuation of Forward Contracts

Forward 的 Price vs Value

Price：合约中约定的交易价格，在合约生命期内不变
Value：合约的市场价值，随标的资产价格变动而波动

三个时间点的 Value

1. At initiation (t = 0)：

$V_{0} = S_{0} - F_{0} (T) (1 + R f)^{- T} = 0$

合约签订时价值为零（这就是 forward price 的定义方式）。

2. During life (0 < t < T)：

$V_{t} = S_{t} - F_{0} (T) (1 + R f)^{- (T - t)}$

对买方的价值 = 标的资产当前价格 - forward price 的现值。

考虑持有成本/收益的一般公式：

$V_{t} = [S_{t} + P V_{t} (costs) - P V_{t} (benefits)] - F_{0} (T) (1 + R f)^{- (T - t)}$

3. At expiration (t = T)：

$V_{T} = S_{T} - F_{0} (T)$

到期时价值 = 现货价格 - forward price（很直观）。

数值例题：Forward Valuation

6个月前签订了一个 1 年期 forward，forward price = 105，Rf = 5%。现在标的资产价格 = 108。

$V_{0.5} = 108 - 105 \times (1.05)^{- 0.5} = 108 - 105/1.0247 = 108 - 102.47 = 5.53$

对 forward 买方而言，合约当前价值为 5.53。

Forward Rate Agreement (FRA)

FRA 是 利率远期合约。Fixed-rate payer（long）在未来某日支付约定的固定利率，收到浮动参考利率（MRR）。

FRA 记号： $F_{A \times B}$ 表示从 A 个月后开始、到 B 个月后结束的利率合约

$F_{3 m 6 m}$ ：3个月后开始的 6个月期利率
即从 3 个月后到 9 个月后的利率

Implied forward rate 的计算：

$(1 + Z_{n})^{n} = (1 + Z_{n - 1})^{n - 1} \times (1 + F_{n - 1, 1})$

解出 $F_{n - 1, 1}$ ：

$F_{n - 1, 1} = \frac{( 1 + Z _{n} ) ^{n}}{( 1 + Z _{n - 1} ) ^{n - 1}} - 1$

数值例题：Implied Forward Rate

$Z_{2}$ = 2%（2年期零息利率）， $Z_{3}$ = 3%（3年期零息利率）。

$F_{2, 1} = \frac{( 1.03 ) ^{3}}{( 1.02 ) ^{2}} - 1 = \frac{1.0927}{1.0404} - 1 = 5.03%$

含义：市场隐含的从第 2 年末到第 3 年末的 1 年期利率为 5.03%。

FRA Settlement 计算：

$F_{3 m 6 m}$ FRA，notional = 1M，contract rate = 1.3%（年化）。到期时 6-month MRR = 1.5%。

Fixed-rate payer 收到的净额 = 利差的现值：

$1 M \times \frac{( 0.015 - 0.013 )}{2} \times \frac{1}{1 + 0.015/2} = 1 M \times 0.001 \times \frac{1}{1.0075} = 992.56$

为什么要折现？

因为 FRA 在利率期间开始时结算，而利息差额要到期末才真正产生，所以需要折回到结算日。

R71: Pricing and Valuation of Futures Contracts

Futures vs Forward 的 Price 和 Value 区别

	Forward	Futures
Price	签约时确定，不变	每日变动（mark-to-market 后重置）
Value	随标的价格波动	每日 MTM 后重置为零

Futures 的 mark-to-market 过程（数值例题）：

黄金期货 100 盎司，Day 0 买入价 1,870。

日期	结算价	MTM Value	保证金变动	MTM后 Value
Day 0	1,870	0	-	0
Day 1	1,875	+500	+500 入账	0（重置）
Day 2	1,855	-2,000	-2,000 扣除	0（重置）

每日 MTM 结算后，futures value 归零，futures price 更新为新的 settlement price。

Interest Rate Futures

利率期货按 price basis 报价：

$Futures price = 100 - (100 \times MR R_{A, B - A})$

例如 6 个月后的 6-month rate futures price = 97，则 $MR R_{6 m, 6 m}$ = 3%。

Basis Point Value (BPV)：

$BP V = Notional \times period \times 0.01%$

例如 notional = EUR 1,000,000，6-month period： $BP V = 1, 000, 000 \times 0.5 \times 0.0001 = E U R 50$

为什么 Futures 和 Forwards 价格可能不同？

关键因素：daily settlement 对 interest rate 的交互影响。

若利率与 futures 价格正相关 → futures 更有价值（价格上涨时获得现金，可以高利率再投资）
若利率与 futures 价格负相关 → forwards 更有价值
若利率恒定或与 futures 价格无关 → 两者价格相同

实务中，由于大多数合约到期日较短、差异很小，forward 和 futures 价格通常视为相等。

Convexity bias：利率 forwards 因为结算金额的非线性（利率变动 1bp 的 up-side 和 down-side 影响不对称），存在 convexity。对于长期利率衍生品，这种 convexity bias 可能使 forwards 和 futures 价格显著不同。

R72: Pricing and Valuation of Interest Rates and Other Swaps

Swap = 一系列 Forwards

一个 1 年期季度付息的 fixed-for-floating swap 可以拆解为：

第 1 期：已知支付（因为签约时已知当前 MRR）
第 2-4 期：等价于 3 个 FRA（forward contract rate = swap fixed rate）

关键区别：虽然 swap 等价于一系列 FRA，但这些 FRA 的 forward rate 各不相同，而 swap 用的是同一个固定利率。所以单个 FRA 签约时价值为零，但 swap 中的各个”嵌入 FRA”未必为零 — 它们的价值之和为零。

Swap Pricing: Par Swap Rate

Par swap rate = 使 swap 签约时价值为零的固定利率。

计算方法：使预期浮动支付的现值 = 固定支付的现值。

$\sum_{n = 1}^{N} \frac{MR R _{n}}{( 1 + S _{n} ) ^{n}} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{F}{( 1 + S _{n} ) ^{n}}$

其中 $S_{n}$ 是相应期限的 spot rate， $MR R_{n}$ 是 implied forward rate， $F$ 是 par swap rate。

Swap 的 Price vs Value

Price = 合约中的固定利率（par swap rate），签约时确定，不变
Value = 预期浮动支付现值 - 固定支付现值，随利率变动而变化

利率变动	Fixed-rate payer 价值	直觉
预期未来短期利率上升	增加	将收到更多浮动支付
预期未来短期利率下降	减少	将收到更少浮动支付

Swap 的等价理解

Fixed-rate payer = 借入固定利率 + 贷出浮动利率 = 发行固定利率债券 + 买入浮动利率债券 = Long floating-rate bond + Short fixed-rate bond

R73: Pricing and Valuation of Options

Moneyness 实值/虚值状态

状态	Call Option (S vs X)	Put Option (X vs S)
In-the-money (ITM) 实值	S > X	X > S
At-the-money (ATM) 平值	S = X	S = X
Out-of-the-money (OTM) 虚值	S < X	X < S

Exercise Value 与 Time Value

$Option premium = Exercise value (intrinsic value) + Time value$

Exercise value = max(0, 实值金额)，即立即行权的收益
Time value = premium 超过 exercise value 的部分，反映标的价格未来波动的可能性
到期时 time value = 0，option value = exercise value

European Option 的上下界

	Minimum Value (Lower Bound)	Maximum Value (Upper Bound)
European Call	$max [0, S_{t} - X (1 + R f)^{- (T - t)}]$	$S_{t}$
European Put	$max [0, X (1 + R f)^{- (T - t)} - S_{t}]$	$X (1 + R f)^{- (T - t)}$

直觉理解

Call 的最大值 = 标的价格（不可能为了买入权利付出超过标的本身的价格）

Put 的最大值 = 行权价的现值（即使标的价格归零，收到的也只是 X，但要到期才能收，所以是 PV(X)）

Lower bound 是 no-arbitrage 条件推导出来的，低于此价就有套利机会

影响 Option 价值的六大因素

因素增加	Call Value	Put Value	直觉理解
标的价格 $S$	增加	减少	Call 更可能 ITM
行权价 $X$	减少	增加	Call 更难 ITM
无风险利率 $R f$	增加	减少	行权价的 PV 下降，有利于 call
波动率 $σ$	增加	增加	更大的上行/下行可能
到期时间 $T$	增加	通常增加*	更多时间 = 更多波动可能
持有收益（股利等）	减少	增加	分红导致标的价格下降
持有成本（仓储等）	增加	减少	不持有标的的 call 更划算

*注：深度 ITM 的 European put 可能因 time to expiration 增加而价值降低（因为收到 X 的现值下降）。

高频考点

Volatility 增加 → both call 和 put 价值增加（这是唯一一个对两者影响方向相同的因素）

Risk-free rate 增加 → call 增加，put 减少（Think PV of exercise payment）

R74: Option Replication Using Put-Call Parity

Put-Call Parity 推导

构建两个在到期时有完全相同 payoff 的组合：

Fiduciary Call = Call + 面值为 X 的零息债券

到期时：若 $S_{T} \geq X$ ，payoff = $(S_{T} - X) + X = S_{T}$
到期时：若 $S_{T} < X$ ，payoff = 0 + X = X$

Protective Put = Stock + Put

到期时：若 $S_{T} \geq X$ ，payoff = $S_{T} + 0 = S_{T}$
到期时：若 $S_{T} < X$ ，payoff = $S_{T} + (X - S_{T}) = X$

两个组合的 payoff 在任何情况下完全相同 = max( $S_{T}$ , $X$ )

由 no-arbitrage 条件：Fiduciary Call = Protective Put

$c + X (1 + R f)^{- T} = S + p$

Put-Call Parity 的前提条件

Options 必须是 European style

Call 和 Put 的 exercise price 相同

Call 和 Put 的 expiration date 相同

标的资产相同

合成证券 Synthetic Securities

从 put-call parity 可以推导出任何一个证券的合成版本：

合成证券	公式	含义
Synthetic call	$c = S + p - X (1 + R f)^{- T}$	Long stock + Long put + Borrow PV(X)
Synthetic put	$p = c - S + X (1 + R f)^{- T}$	Long call + Short stock + Lend PV(X)
Synthetic stock	$S = c - p + X (1 + R f)^{- T}$	Long call + Short put + Lend PV(X)
Synthetic bond	$X (1 + R f)^{- T} = S + p - c$	Long stock + Long put + Short call

正负号的含义

正号 (+) = Long position（买入）

负号 (-) = Short position（卖出/卖空）

数值例题：用 Put-Call Parity 估算 Call 价格

$S = 52$ ， $R f = 5%$ ，3-month put with $X = 50$ , $p = 1.50$ 。求 call 价格。

$c = p + S - X (1 + R f)^{- T} = 1.50 + 52 - \frac{50}{1.0 5 ^{0.25}}$

$c = 1.50 + 52 - \frac{50}{1.01227} = 1.50 + 52 - 49.39 = 4.11$

Put-Call-Forward Parity

当用 forward contract 替代标的资产时：

$c + X (1 + R f)^{- T} = F_{0} (T) (1 + R f)^{- T} + p$

或者重新排列：

$p - c = [X - F_{0} (T)] (1 + R f)^{- T}$

直觉：用 forward 的现值替代 stock price $S$ ，因为 $S = F_{0} (T) (1 + R f)^{- T}$ （在 no-arbitrage 下）。

Options 与公司金融 Corporate Finance Application

用 option 思维看公司资本结构：

Equity holders 的 payoff = $max (0, V_{T} - D)$ → 等价于一个以公司价值为标的、债务面值 D 为行权价的 call option
Debt holders 的 payoff = $min (V_{T}, D) = D - max (0, D - V_{T})$ → 等价于持有无风险债券 + short put

R75: Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model

基本设定

一个 one-period binomial model 需要：

标的资产当前价格 $S_{0}$
期权的 exercise price $X$
Up-move factor $R^{u}$ 和 down-move factor $R^{d}$
无风险利率 $R f$

到期时标的资产只有两种可能：

$S^{u} = S_{0} \times R^{u} (up move)$ $S^{d} = S_{0} \times R^{d} (down move)$

flowchart LR
    S0["S₀ = 50"] -->|"x R^u = 1.20"| Su["S^u = 60"]
    S0 -->|"x R^d = 0.84"| Sd["S^d = 42"]

方法一：Hedge Ratio（无套利复制法）

核心思想：构造一个由 h 股股票和 1 份空头 call（或多头 put）组成的组合，使得无论标的上涨还是下跌，组合价值相同。

Call Option 的 hedge ratio：

$h = \frac{c ^{u} - c ^{d}}{S ^{u} - S ^{d}}$

计算步骤：

计算期权到期时两种状态下的 payoff
求 hedge ratio $h$
组合的确定价值 = $h S^{u} - c^{u} = h S^{d} - c^{d}$
由 no-arbitrage： $V_{0} = \frac{Certain Value}{1 + R f}$
因为 $V_{0} = h S_{0} - c_{0}$ ，解出 $c_{0} = h S_{0} - V_{0}$

完整数值例题：Call Option

$S_{0} = 50$ ， $X = 55$ ， $R^{u} = 1.20$ ， $R^{d} = 0.84$ ， $R f = 3%$ 。

Step 1：期权 payoff

$S^{u} = 50 \times 1.20 = 60$ ， $c^{u} = max (0, 60 - 55) = 5$
$S^{d} = 50 \times 0.84 = 42$ ， $c^{d} = max (0, 42 - 55) = 0$

Step 2：Hedge ratio $h = \frac{5 - 0}{60 - 42} = \frac{5}{18} = 0.278$

Step 3：组合确定价值 $V_{1}^{u} = 0.278 \times 60 - 5 = 11.68$ $V_{1}^{d} = 0.278 \times 42 - 0 = 11.68 ✓$

Step 4：折现 $V_{0} = \frac{11.68}{1.03} = 11.34$

Step 5：Call 价值 $c_{0} = h S_{0} - V_{0} = 0.278 \times 50 - 11.34 = 13.90 - 11.34 = 2.56$

Put Option 同理（但组合中 long put + long stock）：

$S_{0} = 50$ ， $X = 48$ ，同样的 up/down factors。

$p^{u} = max (0, 48 - 60) = 0$ ， $p^{d} = max (0, 48 - 42) = 6$
$h = \frac{6 - 0}{60 - 42} = 0.333$ （注意 put 的 h 定义略不同）
$V_{1}^{u} = 0.333 \times 60 + 0 = 20$ ， $V_{1}^{d} = 0.333 \times 42 + 6 = 20$
$V_{0} = 20/1.03 = 19.42$
$p_{0} = V_{0} - h S_{0} = 19.42 - 0.333 \times 50 = 2.75$

方法二：Risk-Neutral Probability（风险中性定价法）

$π_{U} = \frac{1 + R f - R ^{d}}{R ^{u} - R ^{d}} π_{D} = 1 - π_{U}$

$c_{0} = \frac{π _{U} \times c ^{u} + π _{D} \times c ^{d}}{1 + R f}$

风险中性概率不是真实概率

$π_{U}$ 和 $π_{D}$ 是从 no-arbitrage 条件推导出的”伪概率”。它们保证用无风险利率折现期望 payoff 得到正确的期权价值。真实世界中上涨的概率可能完全不同！

完整数值例题：Risk-Neutral Pricing

$S_{0} = 30$ ， $R^{u} = 1.15$ ， $R^{d} = 1/1.15 = 0.87$ ， $R f = 7%$ ， $X = 30$ （call）。

Step 1：Stock prices

$S^{u} = 30 \times 1.15 = 34.50$
$S^{d} = 30 \times 0.87 = 26.10$

Step 2：Risk-neutral probabilities $π_{U} = \frac{1 + 0.07 - 0.87}{1.15 - 0.87} = \frac{0.20}{0.28} = 0.715$ $π_{D} = 1 - 0.715 = 0.285$

Step 3：Option payoffs

$c^{u} = max (0, 34.50 - 30) = 4.50$
$c^{d} = max (0, 26.10 - 30) = 0$

Step 4：Expected payoff and discount $E (c_{1}) = 0.715 \times 4.50 + 0.285 \times 0 = 3.22$ $c_{0} = \frac{3.22}{1.07} = 3.01$

同样的参数求 Put（ $X = 30$ ）：

$p^{u} = max (0, 30 - 34.50) = 0$
$p^{d} = max (0, 30 - 26.10) = 3.90$
$E (p_{1}) = 0.715 \times 0 + 0.285 \times 3.90 = 1.11$
$p_{0} = 1.11/1.07 = 1.04$

验证 Put-Call Parity： $c + P V (X) = p + S$

左边：3.01 + 30/1.07 = 3.01 + 28.04 = 31.05$
右边：1.04 + 30 = 31.04$ (差异来自四舍五入)

总结与跨科关联

公式速查表

公式	适用
$F_{0} = S_{0} (1 + R f)^{T}$	Forward price（无持有成本）
$F_{0} = [S_{0} + P V (costs) - P V (benefits)] (1 + R f)^{T}$	Forward price（含 cost of carry）
$V_{t} = S_{t} - F_{0} (T) (1 + R f)^{- (T - t)}$	Forward value during life
$c + X (1 + R f)^{- T} = S + p$	Put-Call Parity
$π_{U} = \frac{1 + R f - R ^{d}}{R ^{u} - R ^{d}}$	Risk-neutral probability
$c_{0} = \frac{π _{U} c ^{u} + π _{D} c ^{d}}{1 + R f}$	Binomial option value

跨科联系

Quantitative Methods → TVM 是所有定价公式的基础；Yield Curve 提供 spot rates 用于 swap 定价
Fixed Income → Duration、Convexity 与利率衍生品密切相关；FRA 直接基于 yield curve
Economics → Covered interest rate parity 与 currency forward pricing 完全一致
Corporate Finance → Equity = call option on firm value；Cost of capital 与风险溢价的 option 视角
Portfolio Management → 用衍生品进行 hedging 和 risk modification 是组合管理的核心工具

备考建议

公式推导比死记更有效 — 理解 no-arbitrage 原理后，所有公式都是自然推出的

Forward value 的三个时间点 — initiation (=0)、during life、expiration 是高频考点

Put-Call Parity 的变形 — 能够求解任何一个变量（c、p、S、PV(X)）

Binomial model 两种方法都要会 — hedge ratio 法和 risk-neutral probability 法

因素分析表 — 六个因素对 call/put 的影响方向必须熟练

CFA L1 Notes

探索

衍生品 Derivatives

衍生品 Derivatives

科目概览 Overview

R66: Derivative Instrument and Derivative Market Features

什么是衍生品 What Is a Derivative

结算方式 Settlement Methods

市场结构 Market Structure

R67: Forward Commitment and Contingent Claim Features and Instruments

两大分类 Two Categories

Forward Contracts 远期合约

Futures Contracts 期货合约

Swaps 互换

Credit Default Swap (CDS)

Options 期权

Exposure 方向总结

R68: Derivative Benefits, Risks, and Issuer and Investor Uses

衍生品的优势 Advantages

衍生品的风险 Risks

发行方 vs 投资者的使用 Issuers vs Investors

R69: Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

Arbitrage 套利

Replication 复制

Forward Price 推导（无持有成本/收益）

Cost of Carry 持有成本

Currency Forward 货币远期

R70: Pricing and Valuation of Forward Contracts

Forward 的 Price vs Value

三个时间点的 Value

Forward Rate Agreement (FRA)

R71: Pricing and Valuation of Futures Contracts

Futures vs Forward 的 Price 和 Value 区别

Interest Rate Futures

为什么 Futures 和 Forwards 价格可能不同？

R72: Pricing and Valuation of Interest Rates and Other Swaps

Swap = 一系列 Forwards

Swap Pricing: Par Swap Rate

Swap 的 Price vs Value

R73: Pricing and Valuation of Options

Moneyness 实值/虚值状态

Exercise Value 与 Time Value

European Option 的上下界

影响 Option 价值的六大因素

R74: Option Replication Using Put-Call Parity

Put-Call Parity 推导

合成证券 Synthetic Securities

Put-Call-Forward Parity

Options 与公司金融 Corporate Finance Application

R75: Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model

基本设定

方法一：Hedge Ratio（无套利复制法）

方法二：Risk-Neutral Probability（风险中性定价法）

总结与跨科关联

公式速查表

跨科联系

关系图谱

目录

反向链接