Time Value of Money 货币的时间价值

一句话定义

今天的一块钱比明天的一块钱更值钱，因为今天的钱可以立即投资赚取收益。这个差异通过利率来量化。

概念解析 Explanation

TVM 的核心逻辑是：金钱有时间偏好 (time preference)——人们偏好现在拥有资金而非将来，因为：

1. 机会成本：现在的钱可以投资产生收益
2. 通胀风险：未来的购买力可能下降
3. 不确定性：未来的现金流存在违约等风险

因此，未来现金流必须被”折现”（打折）才能与当前现金流比较；反过来，当前投入的资金会通过”复利”在未来增值。

Compounding 复利：从现在推算到未来（PV → FV） Discounting 折现：从未来推算回现在（FV → PV）

核心公式 Formula

基本关系：

$FV=PV\times (1+r{)}^N$

$PV=\frac{FV}{(1+r{)}^N}=FV\times (1+r{)}^{-N}$

年金现值 (Annuity PV)：

$PV=PMT\times \frac{1-(1+r{)}^{-N}}{r}$

年金支付额：

$PMT=\frac{r\times PV}{1-(1+r{)}^{-N}}$

永续年金 (Perpetuity)：

$PV=\frac{PMT}{r}$

增长型永续年金 (Growing Perpetuity / Gordon Growth Model)：

$PV=\frac{D_1}{k-g}(k>g)$

连续复利：

$FV=PV\times e^{rN},PV=FV\times e^{-rN}$

复利频率效应：

$PV=FV\times {\left(1+\frac{r}{m}\right)}^{-mN}$

其中 $m$ 为每年复利次数。$m$ 越大，有效利率越高，同一 FV 的 PV 越小。

图解 Visual

graph LR
    PV["PV 现值<br/>今天的价值"] -- "Compounding<br/>× (1+r)^N" --> FV["FV 终值<br/>未来的价值"]
    FV -- "Discounting<br/>÷ (1+r)^N" --> PV

计算示例 Worked Example

问题：你想在 5 年后拥有 10,000。年利率 6%，按年复利。你今天需要投入多少？

$PV=\frac{10000}{(1.06{)}^5}=\frac{10000}{1.33823}=7,472.58$

验证：7,472.58 \times (1.06)^5 = 10,000$ ✓

计算器操作：N=5, I/Y=6, FV=10000, PMT=0, CPT PV = -7,472.58（负号表示现金流出）

考试要点 Exam Focus

必考

• 熟练使用金融计算器的 N, I/Y, PV, FV, PMT 五键
• 设置 P/Y = 1（考试默认）
• 记住 PV 和 FV 必须符号相反（一个是流入，一个是流出）
• 连续复利收益的可加性：$R_{0\to 2}=R_{0\to 1}+R_{1\to 2}$
• 复利频率越高 → 有效年利率 (EAR) 越高 → PV 越低

涉及科目 Appears In

• 数量方法 R1 (Rates and Returns), R2 (TVM)
• 固定收益 — 债券定价（PV of coupons + PV of par）
• 权益投资 — DDM 估值（Gordon Growth Model）
• 公司金融 — NPV, IRR 资本预算决策
• 衍生品 — 期权定价中的折现

相关概念 Related Concepts

• NPV 与 IRR
• 久期
• 收益率曲线
• 风险溢价