Yield Curve 收益率曲线

一句话定义

Yield Curve 是同一信用质量的零息债券（spot rates）或附息债券（par rates）收益率与到期时间的关系图。它是固定收益定价、风险度量和经济预测的核心工具。

概念解析 Explanation

Yield Curve 的类型

1. Spot Rate Curve（零息收益率曲线）：每个期限的零息债券收益率。是最基础的曲线，用于精确定价。
2. Par Rate Curve：使债券价格等于面值的 coupon rate 在各个期限上的值。常用于描述政府债券市场。
3. Forward Rate Curve：由 spot rates 推导出的未来某段时间的预期利率。

Yield Curve 的形状

形状	描述	常见原因
Normal (Upward-sloping)	长期利率 > 短期利率	最常见；长期投资需要 term premium
Flat	各期限利率接近	经济转折期
Inverted (Downward-sloping)	短期利率 > 长期利率	市场预期经济衰退/降息
Humped	中间高两头低	中期不确定性最大

Yield Curve 的变动方式

• Parallel shift（平行移动）：所有期限利率变化相同——Duration 衡量此类风险
• Steepening / Flattening：长短端利率变化不同
• Twisting：曲线形状发生旋转——Key Rate Duration 衡量此类风险

解释 Yield Curve 形状的理论

1. Expectations Theory（纯预期理论）：远期利率 = 未来短期利率的无偏预期。曲线形状完全反映市场对未来利率的预期
2. Liquidity Preference Theory（流动性偏好理论）：长期债券有额外的 liquidity premium。即使预期利率不变，曲线也会上斜
3. Market Segmentation Theory（市场分割理论）：不同期限的市场由不同参与者主导，供求关系决定各段利率
4. Preferred Habitat Theory（期限偏好理论）：投资者有偏好的期限，但足够的溢价可以吸引他们跨期限投资

核心公式 Formula

Spot rate 与 Forward rate 的关系：

$(1+S_n{)}^n=(1+S_1)(1+f_{1,1})(1+f_{2,1})\cdots (1+f_{n-1,1})$

其中：

• $S_n$ = n 期即期利率（n-period spot rate）
• $S_1$ = 1 期即期利率（1-period spot rate）
• $f_{j,1}$ = 从第 j 期开始、期限为 1 的远期利率（forward rate starting at period j for 1 period）

两个 Spot rate 推导 Forward rate：

$(1+S_2{)}^2=(1+S_1)(1+f_{1,1})$

$f_{1,1}=\frac{(1+S_2{)}^2}{(1+S_1)}-1$

其中：

• $f_{1,1}$ = 从第 1 期开始、期限为 1 的远期利率（forward rate starting at period 1 for 1 period）
• $S_2$ = 2 期即期利率（2-period spot rate）
• $S_1$ = 1 期即期利率（1-period spot rate）

图解 Visual

图 1：四种 Yield Curve 形状

图 2：Spot / Forward / Par Rate 曲线对比

当 yield curve 向上倾斜时，三条曲线的位置关系是固定的：

必考关系

• Upward-sloping 时：Forward Rate > Spot Rate > Par Rate
• Downward-sloping 时：Forward Rate < Spot Rate < Par Rate
• Flat 时：三条曲线完全重合

图 3：Yield Curve 变动方式

• Parallel shift：所有期限利率同幅变化 → Duration 可以衡量
• Steepening：长端升幅 > 短端（或短端降幅 > 长端）→ 利差扩大
• Flattening：短端升幅 > 长端（或长端降幅 > 短端）→ 利差缩小
• Non-parallel shift → 需要 Key Rate Duration 来精确衡量

计算示例 Worked Example

例题：已知 $S_1=3\%$，$S_2=3.5\%$，求 1 年后的 1 年 forward rate $f_{1,1}$。

$(1.035{)}^2=(1.03)(1+f_{1,1})$ $1.07123=1.03\times (1+f_{1,1})$ $f_{1,1}=\frac{1.07123}{1.03}-1=4.003\%$

考试要点 Exam Focus

1. 必须熟练进行 spot rate、forward rate、par rate 之间的相互转换
2. 用 spot rates 对债券定价（逐笔现金流折现）比用单一 YTM 更精确
3. Yield curve parallel shift → Duration 足够；non-parallel shift → 需要 Key Rate Duration
4. Inverted yield curve 是经济衰退的信号
5. Z-spread 是加到每个 spot rate 上使模型价格等于市场价格的 constant spread

涉及科目 Appears In

• 固定收益 Fixed Income R53-R54, R59
• 经济学 — 货币政策与利率

相关概念 Related Concepts

• Duration 久期 - 衡量 yield curve 平行移动的价格敏感度
• Convexity 凸性 - Duration 的二阶修正
• Risk Premium 风险溢价 - Term premium 是 yield curve 上斜的原因之一
• Time Value of Money - Yield curve 的理论基础