Convexity 凸性

一句话定义

Convexity 衡量 price-yield 关系的弯曲程度（曲率），是对 Duration 线性近似的二阶修正项。正 convexity 对投资者有利：yield 下降时价格涨幅 > yield 上升同等幅度时的跌幅。

概念解析 Explanation

Duration 是 price-yield 曲线切线的斜率（一阶导），Convexity 是曲线弯曲程度（二阶导）。

正 Convexity（Option-free bonds）：

• Yield 下降时，Duration 的线性估算低估价格上涨
• Yield 上升时，Duration 的线性估算高估价格下跌
• 无论 yield 涨跌，convexity 调整项都是正的 → 投资者喜欢正 convexity

负 Convexity（Callable bonds / MBS at low yields）：

• 价格上涨受到 call price 天花板限制
• Yield 下降时价格涨幅小于上升时的跌幅

影响 Convexity 的因素

因素	效果
Maturity 更长	Convexity 更大
Coupon 更低	Convexity 更大
YTM 更低	Convexity 更大
现金流更分散	Convexity 更大

核心公式 Formula

精确法（单个现金流在 $t$ 期的 convexity）：

$Con{v}_t=\frac{t\times (t+1)}{(1+r{)}^2}$

其中：

• $Con{v}_t$ = 第 t 期现金流的凸性贡献（convexity contribution of cash flow at period t）
• $t$ = 期数（period）
• $r$ = 每期折现率（discount rate per period）

近似法：

$ApproxConv=\frac{V_{-}+V_{+}-2V_0}{V_0\times (\Delta y{)}^2}$

其中：

• $V_{-}$ = 收益率下降 $\Delta y$ 后的债券价格（bond price when yield decreases）
• $V_{+}$ = 收益率上升 $\Delta y$ 后的债券价格（bond price when yield increases）
• $V_0$ = 当前债券价格（current bond price）
• $\Delta y$ = 收益率变动幅度（yield change）

Effective Convexity（含权债券用 $\Delta Curve$ 代替 $\Delta y$）：

$EffConv=\frac{V_{-}+V_{+}-2V_0}{V_0\times (\Delta Curve{)}^2}$

其中：

• $EffConv$ = 有效凸性（effective convexity）
• $V_{-}$ = 基准曲线下移 $\Delta Curve$ 后的债券价格（bond price when curve decreases）
• $V_{+}$ = 基准曲线上移 $\Delta Curve$ 后的债券价格（bond price when curve increases）
• $V_0$ = 当前债券价格（current bond price）
• $\Delta Curve$ = 基准收益率曲线变动幅度（benchmark curve change）

Duration + Convexity 联合估价：

$\%\Delta P\approx -ModDur\times \Delta y+\frac{1}{2}\times Conv\times (\Delta y{)}^2$

其中：

• $\%\Delta P$ = 债券价格百分比变动（percentage change in bond price）
• $ModDur$ = 修正久期（modified duration）
• $\Delta y$ = 收益率变动幅度（yield change）
• $Conv$ = 凸性（convexity）

Money Convexity：

$MoneyCon=Conv\times MV$

其中：

• $MoneyCon$ = 货币凸性（money convexity）
• $Conv$ = 凸性（convexity）
• $MV$ = 债券市场价值（market value）

年化

半年付息债券的 periodic convexity 需除以 $n^2$（$n$ = 付息频率）才能得到 annualized convexity。

图解 Visual

price-yield 曲线是凸的（convex toward the origin）。Duration 线性估算是曲线在当前点的切线。Convexity 修正使估算更贴近实际曲线：

• 在 yield 下降端，实际价格高于切线 → Convexity 补充正值
• 在 yield 上升端，实际价格也高于切线 → Convexity 同样补充正值

计算示例 Worked Example

例题：5 年期 11% 年付息，YTM=15%，$V_0=86.59138$。$\Delta y=50$ bps 时 $V_{-}=88.12721$, $V_{+}=85.09217$。

Approximate Convexity: $ApproxConv=\frac{88.12721+85.09217-2\times 86.59138}{86.59138\times 0.005^2}=\frac{0.03662}{0.002165}=16.916$

Duration + Convexity（ModDur = 3.50, Conv = 16.9, $\Delta y=-0.005$）:

• Duration effect: $-3.50\times (-0.005)=+1.75\%$
• Convexity effect: $0.5\times 16.9\times 0.000025=+0.0211\%$
• Total: $+1.7711\%$
• New price: $86.59\times 1.01771=88.125$

考试要点 Exam Focus

1. Convexity 调整项 $\frac{1}{2}\times Conv\times (\Delta y{)}^2$ 始终为正（对于正 convexity 债券）
2. Callable bonds 在低利率时可展现负 convexity
3. Putable bonds 始终正 convexity
4. Convexity 近似公式要记牢，与 Duration 近似公式配对使用
5. 半年付息 → 年化 convexity 需除以 4

涉及科目 Appears In

• 固定收益 Fixed Income R58-R59

相关概念 Related Concepts

• Duration 久期 - 一阶近似，Convexity 是其二阶修正
• Yield Curve 收益率曲线 - Effective Convexity 基于 curve shift