固定收益 Fixed Income

考试权重 Exam Weight: 11-14%

固定收益是 CFA Level I 中权重最高的科目之一，计算密集、概念多。前半部分 (R47-R56) 覆盖债券基础特征、现金流结构、发行交易市场、估值定价、收益率度量、期限结构和利率风险。后半部分 (R57-R65) 由另一部分覆盖。

科目概览 Overview

固定收益是 CFA Level I 中 Reading 数量最多 (R47-R65) 且计算密集的科目。内容从债券的基本特征出发，逐步深入到估值定价、收益率度量、利率风险管理和信用分析，最后延伸至证券化产品。掌握本科目需要扎实的 TVM 基础，同时为衍生品中的利率互换定价提供直接支撑。

graph LR
  ROOT((固定收益<br/>Fixed Income))
  ROOT --- A[债券基础 Bond Basics]
  A --- A1(工具特征 Instrument Features)
  A --- A2(现金流与类型 Cash Flows & Types)
  A --- A3(发行与交易 Issuance & Trading)
  A --- A4(发行人市场 Issuer Markets)
  ROOT --- B[估值与收益率 Valuation & Yield]
  B --- B1(债券估值 Bond Valuation)
  B --- B2(收益率与利差 Yield & Spread)
  B --- B3(期限结构 Term Structure)
  ROOT --- C[风险管理 Risk Management]
  C --- C1(利率风险 Interest Rate Risk)
  C --- C2(久期 Duration)
  C --- C3(凸性 Convexity)
  C --- C4(曲线风险 Curve Risk)
  ROOT --- D[信用分析 Credit Analysis]
  D --- D1(信用风险 Credit Risk)
  D --- D2(政府信用 Sovereign Credit)
  D --- D3(公司信用 Corporate Credit)
  ROOT --- E[证券化 Securitization]
  E --- E1(ABS 资产支持证券)
  E --- E2(MBS 抵押贷款支持证券)

R47: Fixed-Income Instrument Features 固收工具特征

47.1 固收工具的基本特征

固定收益工具 (Fixed-Income Instruments) 是一类借贷安排，投资者向发行人出借资金（即 principal / par / face value 本金），发行人承诺按约定方式偿还本金并支付利息。

两大类：

Loans（贷款）：不可交易的私人借贷协议
Bonds（债券）：标准化、可在市场上交易的债务证券

核心要素一览

特征 Feature	说明
Issuer 发行人	主权国家、地方政府、超国家机构、准政府实体、公司、SPE（特殊目的实体）
Maturity 到期日	最后一笔现金流的支付日期。剩余期限称为 tenor
Par Value 面值	到期偿还的本金金额，通常 1,000
Coupon Rate 票面利率	年利率，以面值的百分比表示，可按年/半年/季度/月支付
Coupon Frequency	Annual / Semiannual / Quarterly / Monthly
Seniority 优先级	Senior debt > Junior (subordinated) debt
Contingency Provisions	Embedded options: call, put, conversion

按到期期限分类

分类	初始期限	举例
Money Market Securities 货币市场工具	≤ 1 年	T-bills, Commercial Paper
Capital Market Securities 资本市场工具	> 1 年	T-bonds, Corporate bonds
Perpetual Bonds 永续债	无到期日	某些 Preferred shares

Coupon 类型

Fixed-rate bond：固定票面利率，每期支付固定金额
- 例：1,000 面值、5% semiannual coupon → 每半年支付 25
Floating-rate notes (FRNs)：coupon = MRR（Market Reference Rate）+ fixed margin
- MRR 如 SOFR；margin 以 basis points (bps) 表示（1 bp = 0.01%）
- 例：MRR = 2.3%, margin = 75 bps → 季度利率 = (2.3% + 0.75%) / 4 = 0.7625%
Zero-coupon bonds（纯折扣债券）：不付利息，以折价发行，到期偿还面值

Yield（收益率）与 Price 的反向关系

核心概念

对于固定票面利率的债券，价格和收益率呈反向关系。这是贯穿整个固收领域的最重要概念。

市场利率下降 → 债券的固定现金流更有价值 → 价格上升 → yield 下降
市场利率上升 → 债券价格下降 → yield 上升

graph LR
    A["市场利率下降"] --> B["债券价格上升"]
    B --> C["Yield 下降"]
    D["市场利率上升"] --> E["债券价格下降"]
    E --> F["Yield 上升"]
    style A fill:#e8f5e9
    style D fill:#ffebee

Yield Curve 收益率曲线

将同一发行人不同到期期限的债券收益率绘制在一起，形成收益率曲线。

graph TB
    subgraph "Yield Curve 三种形态"
        direction LR
        N["Normal (正常)\n短端低 长端高\n最常见"]
        I["Inverted (倒挂)\n短端高 长端低\n可能预示衰退"]
        FL["Flat (平坦)\n各期限接近\n过渡状态"]
    end

Normal yield curve：长期限收益率高于短期限，反映投资者对长期不确定性要求更高回报
Inverted yield curve：短期限收益率高于长期限，历史上常预示经济衰退
Flat yield curve：各期限收益率接近

47.2 Bond Indenture 债券契约与 Covenants

Bond indenture（信托契约） 是发行人与债券持有人之间的法律合同，规定了债券的所有条款。

偿还来源 Sources of Repayment

发行人类型	偿还来源
Sovereign bonds 主权债	税收 + 铸币权
Local government	地方税收或项目收入（如收费公路）
Secured corporate bonds 有担保公司债	经营现金流 + 特定资产抵押（collateral）
Unsecured corporate bonds 无担保公司债	仅经营现金流
ABS 资产支持证券	SPE 持有的金融资产产生的现金流

Covenants 条款

Affirmative covenants（肯定性条款）：发行人必须做的事

按时提供财务报告
维持 cross-default 条款（一处违约 = 全部违约）
Pari passu 条款（同等优先权）

Negative covenants（否定性条款）：发行人不能做的事

限制资产出售和回租
限制质押同一资产给多个债务（negative pledge clause）
限制发行更高优先级债务
限制额外借款、股票回购或分红（通常需通过 incurrence test，如 Debt/EBITDA 低于阈值）

R48: Fixed-Income Cash Flows and Types 固收现金流与类型

48.1 本金偿还结构

Bullet Structure（子弹结构）

最典型的债券结构：每期只付利息，到期一次性偿还全部本金。

例题：1,000 面值、5% annual coupon、5 年期 bullet bond

Year	1	2	3	4	5
Payment	50	50	50	50	1,050
Principal Remaining	1,000	1,000	1,000	1,000	0

Fully Amortizing（完全摊销）

每期支付固定金额（包含利息 + 本金），到期时本金完全偿清（如住房贷款）。

例题：1,000、5% annual、5 年完全摊销

金融计算器：N=5, I/Y=5, PV=1000, FV=0 → PMT = -230.97

Year	1	2	3	4	5
Payment	230.97	230.97	230.97	230.97	230.98
利息部分	50.00	40.95	31.45	21.47	11.00
本金部分	180.97	190.02	199.52	209.50	219.98

Partially Amortizing（部分摊销 + Balloon Payment）

到期时有一笔较大的剩余本金偿还（balloon payment），介于 bullet 和 fully amortizing 之间。

Sinking Fund Provision

发行人按计划在债券存续期内定期赎回部分本金。

优势：降低信用风险（到期需偿还金额减少）
劣势：持有人面临 reinvestment risk（再投资风险）

Waterfall Structure

用于 ABS/MBS，将现金流按优先级分配给不同 tranches（层级）。Senior tranches 先获本金偿付，junior tranches 后获。

48.2 各类 Coupon 结构

类型	特点
Step-up coupon bonds	票面利率按预定计划递增
Leveraged loans	信用恶化时 coupon 增加（如 Debt/EBITDA > 3 时 coupon = MRR + 3%）
Credit-linked notes	coupon 与信用评级挂钩
PIK bonds（Payment-in-kind）	以增发债券代替现金支付利息
Green bonds	未达环保目标时 coupon 增加
Inflation-linked bonds	现金流与通胀指数挂钩
Zero-coupon bonds	无期间利息，折价发行
Deferred coupon bonds	发行后若干年才开始支付利息

Inflation-Linked Bonds 两种主要结构

结构	机制	代表
Interest-indexed	coupon rate 随通胀调整，面值不变	—
Capital-indexed (TIPS)	coupon rate 固定，面值随通胀调整	U.S. TIPS

TIPS 例题：面值 1,000，coupon rate 3%（semiannual），6 个月后通胀 1%

调整后面值 = 1,000 × 1.01 = 1,010
半年 coupon = 1,010 × 1.5% = 15.15

48.3 Embedded Options（内嵌期权）

期权类型	受益方	效果
Callable bond	发行人获益	发行人有权以 call price 提前赎回
Putable bond	持有人获益	持有人有权以 put price 回售给发行人
Convertible bond	持有人获益	持有人可按 conversion ratio 转换为普通股

Callable Bond 定价关系

$Callable bond value = Straight bond value - Call option value$

Call protection period：不可赎回保护期
Call schedule：赎回时间和价格的安排

Convertible Bond 关键术语

Conversion price：面值 ÷ 每股转换价格
Conversion ratio：面值 ÷ conversion price = 可转换股数
- 例：1,000 面值、conversion price 40 → ratio = 25 shares
Conversion value = conversion ratio × 当前股价
- 例：25 shares × 50 = 1,250

Contingent Convertible Bonds (CoCos)

当银行权益资本降至某阈值以下时自动转为普通股，帮助银行满足最低资本要求。

48.4 债券的法律/税务考量

分类	定义
Domestic bonds	在发行人所在国发行和交易的债券
Foreign bonds	外国发行人在本地市场发行的债券
Eurobonds	在任何单一国家管辖之外发行的债券
Global bonds	同时在 Eurobond 市场和至少一个国内市场交易

债券收入的税务处理

利息收入：通常按普通收入税率征税
资本利得/损失：按资本利得税率（通常更低）
OID bonds (Original Issue Discount)：折价部分视为利息收入，每年应税（即使未收到现金）
Municipal bonds（美国市政债）：利息通常免联邦所得税

R49: Fixed-Income Issuance and Trading 固收发行与交易

49.1 债券市场分类

按发行人类型 (Issuer Type)

发行人	特点
Sovereign（主权）	最高信用质量
Non-sovereign（非主权政府）	地方政府、agency
Corporate	公司债
SPE（特殊目的实体）	发行 ABS

按信用质量 (Credit Quality)

评级	S&P	Moody’s	分类
高等级	AAA ~ BBB-	Aaa ~ Baa3	Investment grade
低等级	BB+ 及以下	Ba1 及以下	High yield / Speculative / Junk

按到期期限

Short-term (< 1 yr)：money market
Intermediate-term (1-10 yr)
Long-term (> 10 yr)

49.2 Fixed-Income Indexes

固收指数 vs 股票指数的三大差异：

成分更多（单个公司可能有多种债券在流通）
Turnover 更高（债券到期、新发行频繁导致成分更替）
政府债权重大（政府是最大发行人）

Aggregate indexes：广泛覆盖所有板块（如 Bloomberg Barclays Aggregate）
Narrow indexes：按板块/评级/地区/ESG 过滤

49.3 一级市场与二级市场

Primary Market（一级市场）

方式	说明
Public offering	向公众公开发售（需注册）
Private placement	向少数合格投资者发售
Underwritten offering	投行包销，价格有保证
Best-efforts offering	投行代销，不保证价格，收佣金
Shelf registration	注册后可分批发行

Debut issuer：首次发行债券的公司（需路演 roadshow）
Repeat issuer：后续发行更快更简便

Secondary Market（二级市场）

大部分债券在 OTC dealer market（场外经纪商市场）交易
Dealers 报出 bid（买入价）和 ask/offer（卖出价），差额为 spread
On-the-run bonds：最新发行的某期限债券，流动性最好，spread 最窄
Seasoned / off-the-run bonds：老券，流动性较低
Distressed debt：接近或已经破产的发行人的债务

R50: Fixed-Income Markets for Corporate Issuers 公司固收市场

50.1 非金融公司的短期融资

融资方式	可靠性	成本	特点
Uncommitted line of credit	低	低	银行可随时拒绝放贷
Committed line of credit	中	中（commitment fee ~50 bps）	有期限承诺，到期可能不续 → renewal risk
Revolving line of credit	高	高	长期循环贷款，有严格 covenants
Secured (asset-backed) loans	—	—	以应收账款/存货等为抵押
Factoring	—	—	将应收账款以折价卖给 factor
Commercial Paper (CP)	—	—	无担保短期债务，通常 < 3 个月，pure discount

Commercial Paper (CP)

大型高评级公司发行，替代银行贷款，成本更低
Rollover risk：到期时可能无法续发新 CP → 需维持 backup lines of credit
Bridge financing：在长期融资到位前的临时资金
Eurocommercial paper (ECP)：国际市场上的 CP

50.2 金融机构的短期融资

来源	说明
Deposits	活期、运营存款、储蓄存款
CDs	Nonnegotiable（不可转让）/ Negotiable（可转让，机构间交易）
Interbank funds	银行间拆借
Central bank funds	向央行借款（discount window，利率较高）
ABCP	资产支持商业票据，通过 SPE 发行

50.3 Repurchase Agreements (Repos) 回购协议

Repo 本质是以证券为抵押的短期借款。

结构：

借款方（security seller）将债券卖给贷款方（security buyer）
约定在未来某日以更高价格回购
价差 = 利息，年化后的利率 = repo rate

关键公式：

$Purchase price (loan amount) = \frac{Market value of securities}{Initial margin}$

$Repurchase price = Purchase price \times [1 + Repo rate \times \frac{Days}{360}]$

$Haircut = \frac{Market value - Purchase price}{Market value} = 1 - \frac{1}{Initial margin}$

例题：债券市值 1,000,000，repo rate 2%，initial margin 103%，期限 90 天

$Purchase price = \frac{1 , 000 , 000}{1.03} = 970, 874$

$Repurchase price = 970, 874 \times [1 + 0.02 \times \frac{90}{360}] = 975, 728$

$Haircut = 1 - \frac{1}{1.03} = 2.91%$

Variation Margin

若抵押品市值下降导致 collateral value < loan amount × initial margin，贷款方要求追加保证金。

Repo Rate 影响因素

因素	影响
市场利率高	Repo rate 高
抵押品质量好	Repo rate 低
期限长	Repo rate 高
抵押品需求大/供给少	Repo rate 低（特殊品种可能为负）

Repo 类型

Overnight repo：1 天期
Term repo：超过 1 天
General collateral repo：抵押品为一类证券（如国债）
Tri-party repo：通过第三方（custodian bank）管理，降低操作风险
Bilateral repo：双方直接交易
Reverse repo：从借入证券的角度看（用于做空）

50.4 Investment Grade vs High Yield

维度	Investment Grade	High Yield
主要风险关注	评级下调	实际违约 + 损失率
Credit spread 占比	较小（yield 主要由 benchmark 决定）	较大
Covenants	少且宽松	多且严格
标准化程度	高	低
期限灵活性	跨多个期限发行	通常 ≤ 10 年
Call/Prepayment	较少	常见（信用改善时提前偿还）
回报特征	更像固收	更像权益（equity-like）

R51: Fixed-Income Markets for Government Issuers 政府固收市场

51.1 Sovereign Debt 主权债务

主权债券以国家征税权和（某些国家的）铸币权作为还款保障，通常是国内市场最高信用质量的债券。

Developed vs Emerging Market

维度	Developed Market	Emerging Market
经济体	稳定、多元化	增长快但波动大、集中度高
财政政策	一致且透明	可能不稳定
货币	Reserve currency（如 USD、EUR）	可能不可自由兑换
债务类型	主要为本币	Domestic debt + External debt

Domestic debt：以本币发行，由国内投资者持有
External debt：以外币（或储备货币）计价，向外国债权人借入
外国投资者持有以 USD 计价的新兴市场债 → 面临 indirect currency risk（发行国需赚取外汇偿债）

Debt Management Policy

政府的债务管理策略考虑：

短期 vs 长期债务的比例
Ricardian equivalence（理论上政府应对发债期限无偏好，但实践中不成立）
维持各期限 benchmark yield curve 的需求

51.2 Non-Sovereign Government Debt

类型	偿还来源
Agency / Quasi-government bonds	政府支持实体发行（如 Ginnie Mae）；可能有政府担保
General obligation (GO) bonds	地方政府的征税权
Revenue bonds	特定项目收入（如收费公路、桥梁）
Supranational bonds	多国组织（世界银行、IMF、亚开行），高信用、高流动性

51.3 政府债券发行 —— 拍卖机制

机制	说明
Competitive bid	投标者报价（收益率），用于确定发行价
Noncompetitive bid	不报价，保证获得配额，按竞标确定的价格成交
Single-price auction	所有成功投标者以同一价格（最高中标收益率对应的价格）成交
Multiple-price auction	每个成功投标者按自己的报价成交

Primary dealers：被政府指定的金融机构，负责在拍卖中做市
On-the-run bonds：最新发行的某期限国债，流动性最好，用于构建 benchmark yield curve
Off-the-run bonds：之前发行的老券

R52: Fixed-Income Bond Valuation 债券估值

52.1 债券定价基本原理

债券价格 = 所有未来现金流的现值之和，折现率为 YTM (yield to maturity)。

Annual Coupon Bond 定价公式

$P = \frac{C}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C}{( 1 + r ) ^{2}} + \dots + \frac{C + F V}{( 1 + r ) ^{n}}$

其中 $C$ = 年度 coupon， $F V$ = 面值， $r$ = YTM， $n$ = 年数。

Semiannual Coupon Bond 定价公式

$P = \frac{C /2}{( 1 + r /2 ) ^{1}} + \frac{C /2}{( 1 + r /2 ) ^{2}} + \dots + \frac{C /2 + F V}{( 1 + r /2 ) ^{2 n}}$

例题 1：Annual Coupon Bond Pricing

一只 5 年期、10% annual coupon、100 面值的债券。分别求 YTM = 10%, 8%, 12% 时的价格。

YTM = 10%（coupon = yield）： $P = \frac{10}{1.10} + \frac{10}{1.1 0 ^{2}} + \frac{10}{1.1 0 ^{3}} + \frac{10}{1.1 0 ^{4}} + \frac{110}{1.1 0 ^{5}} = 100.00$ → Par bond（平价债券）：coupon rate = YTM 时，价格 = 面值

YTM = 8%（coupon > yield）：

N=5, PMT=10, FV=100, I/Y=8 → PV = 107.99
→ Premium bond（溢价债券）

YTM = 12%（coupon < yield）：

N=5, PMT=10, FV=100, I/Y=12 → PV = 92.79
→ Discount bond（折价债券）

Convexity 现象

注意 YTM 从 10% 降到 8%（降 2%），价格上涨 7.99；但 YTM 从 10% 升到 12%（涨 2%），价格仅下跌 7.21。涨幅 > 跌幅，这就是 convexity（凸性）。

例题 2：Semiannual Coupon Bond Pricing

同一债券改为 semiannual coupon，YTM = 8%（annual）。

每半年 coupon = 5，折现率 = 4%/period，共 10 期
N=10, PMT=5, FV=100, I/Y=4 → PV = 108.11

例题 3：Calculating YTM

债券价格为 105，semiannual coupon 5，5 年到期。

N=10, PMT=5, FV=100, PV=-105 → I/Y = 4.37%
Stated annual YTM = 4.37% × 2 = 8.74%

52.2 Accrued Interest, Flat Price & Full Price

在两个 coupon date 之间交易时：

$Accrued Interest = Coupon Payment \times \frac{Days from last coupon to settlement}{Days in coupon period}$

计日方法	规则	常用于
Actual/Actual	按实际天数	政府债券
30/360	每月 30 天、每年 360 天	公司债券

Full price (dirty price) = 含应计利息的价格（实际交割金额） Flat price (clean price) = 不含应计利息的报价

$Flat price = Full price - Accrued interest$

Full price 的计算方法：

计算上一个 coupon date 时的债券价值（PV）
将该值向前复利至交割日

$Full price = P V_{last coupon} \times (1 + \frac{Y TM}{periods/yr})^{\frac{days since last coupon}{days in coupon period}}$

例题：5% semiannual bond，YTM 4%，coupon dates June 15 & Dec 15。交割日 Aug 21，还剩 4 个 coupon。

Step 1: PV on last coupon date (June 15):

N=4, PMT=2.5, FV=100, I/Y=2 → PV = 101.904

Step 2: 调整到 Aug 21:

Days June 15 to Dec 15 = 183 days
Days June 15 to Aug 21 = 67 days
Full price = 101.904 × (1.02)^(67/183) = 102.645

Step 3: Accrued interest = 2.5 × (67/183) = 0.915

Step 4: Flat price = 102.645 - 0.915 = 101.73

52.3 Price-Yield 关系总结

关系	说明
Price ↔ Yield	反向关系
Lower coupon	对 yield 变化更敏感
Longer maturity	对 yield 变化更敏感
Convexity	yield 下降带来的价格上涨 > yield 上升带来的价格下跌
Pull to par	随时间推移，价格向面值收敛（constant-yield price trajectory）

52.4 Matrix Pricing 矩阵定价

用于估算非交易或低流动性债券的 YTM：

找到信用质量相近且有市场交易的可比债券
如果到期日不同，用线性插值 (linear interpolation) 估算目标 YTM

例题：估算一只 3 年期 A+ 评级 4% coupon 非交易债券

A+ rated, 2-year, YTM = 4.3%
A+ rated, 5-year #1, YTM = 5.1%
A+ rated, 5-year #2, YTM = 5.3%

Step 1: 5-year 平均 YTM = (5.1 + 5.3) / 2 = 5.2% Step 2: 3-year YTM = 4.3% + (5.2% - 4.3%) × [(3-2)/(5-2)] = 4.6% Step 3: N=3, PMT=4, FV=100, I/Y=4.6 → PV = 98.354

R53: Yield and Yield Spread Measures for Fixed-Rate Bonds 固定利率债券收益率

53.1 各种 Yield Measures

Periodicity 与 Effective Annual Yield (EAY)

Periodicity：每年付息次数。

$EAY = (1 + \frac{Y TM}{n})^{n} - 1$

Periodicity	YTM 含义	EAY (若 stated YTM = 10%)
1 (annual)	= effective annual	10.00%
2 (semiannual)	= 2 × semiannual rate	$(1.05)^{2} - 1 = 10.25%$
4 (quarterly)	= 4 × quarterly rate	$(1.025)^{4} - 1 = 10.38%$

跨 periodicity 比较：先算出 EAY，再转换。

例题：Atlas 债券 YTM = 4%（semiannual basis），转换为 annual-pay 和 quarterly-pay：

Semiannual → Annual: EAY = 1.02² - 1 = 4.04%
Semiannual → Quarterly: quarterly rate = 1.02^(1/2) - 1 = 0.995% → annual = 4 × 0.995% = 3.98%

Current Yield（当前收益率）

$Current Yield = \frac{Annual coupon payment}{Bond price}$

例题：1,000 面值、6% semiannual coupon、价格 802.07 $Current Yield = \frac{60}{802.07} = 7.48%$

只反映利息收入，不考虑资本利得和再投资收入。

Simple Yield

$Simple Yield = \frac{Annual coupon + Annual amortization of discount/premium}{Flat price}$

例题：3 年期、8% coupon、价格 90.165

Discount = 100 - 90.165 = 9.835 → 年均摊销 = 3.278
Simple yield = (8 + 3.278) / 90.165 = 12.51%

Yield to Call & Yield to Worst

对于 callable bond，计算所有可能赎回日的收益率，取最低的那个。

例题：5 年期 6% semiannual bond，价格 102

Callable at 102 after Jan 1, 20X7
Callable at 101 after Jan 1, 20X8

Scenario	N	FV	PV	PMT	I/Y	Annualized
YTM	10	100	-102	3	2.768%	5.54%
Yield to 1st call	6	102	-102	3	2.941%	5.88%
Yield to 2nd call	8	101	-102	3	2.830%	5.66%

Yield to worst = 5.54%（最低的 yield）

Option-Adjusted Yield (OAY)

$Callable bond value = Straight bond value - Call option value$

Option-adjusted price = callable bond price + call option value → 用此价格算出的 yield 即 OAY，低于 callable bond 的 YTM。

53.2 Yield Spread Measures

Spread 类型	基准	说明
G-spread	Government bond yield	bond YTM - interpolated gov bond YTM
I-spread	Swap rate	bond YTM - swap rate（相同期限）
Z-spread (zero-volatility spread)	Spot rate curve	加到每个 spot rate 上使 PV = market price 的固定利差
OAS (option-adjusted spread)	Spot rate curve	Z-spread - option value；去除 optionality 后的利差

Z-spread 例题

3 年期 9% annual coupon 公司债，价格 89.464。Spot rates：S₁=4%, S₂=8.167%, S₃=12.377%

$89.464 = \frac{9}{( 1.04 + ZS ) ^{1}} + \frac{9}{( 1.08167 + ZS ) ^{2}} + \frac{109}{( 1.12377 + ZS ) ^{3}}$

求解得 ZS = 1.67% = 167 bps

对比 G-spread = 13.50% - 12.00% = 1.50% = 150 bps（Z-spread 更精确）

OAS vs Z-spread

对于 callable bond： $OAS = Z-spread - Option value (in bps)$

例：Z-spread = 180 bps，call option value = 60 bps → OAS = 120 bps

OAS 反映 credit、liquidity、taxation 的补偿
Z-spread 额外包含了 optionality 的补偿

R54: Yield and Yield Spread Measures for Floating-Rate Instruments 浮动利率工具收益率

54.1 FRN 的收益率度量

FRN 的 coupon = MRR + Quoted Margin (QM)

概念	定义
Quoted Margin (QM)	发行时确定的固定加点
Discount Margin (DM) / Required Margin	市场要求的加点（使 FRN 以面值定价的 margin）

QM vs DM 的关系与价格：

情形	信用状况	FRN 价格
QM = DM	信用不变	Par（面值）
QM < DM	信用恶化	Discount（折价）
QM > DM	信用改善	Premium（溢价）

这与 fixed-rate bond 中 coupon rate vs YTM 的关系完全类比。

FRN 估值例题

100,000 FRN，semiannual coupon = MRR + 120 bps。当前 MRR = 3.0%（annual），DM = 1.5%（annual）。5 年到期。

Coupon rate = 3.0% + 1.2% = 4.2% → semiannual = 2.1%
Required return = MRR + DM = 3.0% + 1.5% = 4.5% → semiannual = 2.25%
N=10, PMT=2.1, FV=100, I/Y=2.25 → PV = 98.67（折价，因为 QM < DM）

54.2 Money Market Yield Measures

货币市场工具（到期 ≤ 1 年）的收益率报价方式多样：

收益率类型	基准年	计算基础
Discount yield	360 天	基于面值的折扣
Add-on yield (360-day)	360 天	基于购买价格的利息
Bond equivalent yield (BEY)	365 天	基于购买价格的 add-on yield

关键公式

$Quoted add-on yield = HPY \times \frac{365}{days to maturity}$

$Quoted discount yield = Actual discount on security \times \frac{360}{days to maturity}$

$Price (discount basis) = F V \times (1 - Discount yield \times \frac{Days}{360})$

例题：Money Market Yields 转换

1. T-bill：面值 1,000，90 天，annualized discount = 1.2%

Discount = 1.2% × 90/360 × 1,000 = 3
Price = 997
HPY = 3/997 = 0.3009%
BEY = 0.3009% × 365/90 = 1.2203%

2. CD：面值 1M，120 天，add-on yield 1.4%（365-day basis）

120 天利息 = 120/365 × 1.4% = 0.4603%
到期支付 = 1,000,000 × 1.004603 = 1,004,603
已经是 365-day basis → BEY = 1.4%

R55: The Term Structure of Interest Rates 利率期限结构

55.1 Spot Rates 即期利率

Spot rate (即期利率) 是对未来某个时点的单笔现金流的折现率，等同于零息债券的 YTM。

用 Spot Rates 给债券定价（No-Arbitrage Price）

$P = \frac{C}{( 1 + S _{1} ) ^{1}} + \frac{C}{( 1 + S _{2} ) ^{2}} + \dots + \frac{C + F V}{( 1 + S _{n} ) ^{n}}$

例题：3 年期 5% annual coupon bond，spot rates：S₁=3%, S₂=4%, S₃=5%

$P = \frac{5}{1.03} + \frac{5}{1.0 4 ^{2}} + \frac{105}{1.0 5 ^{3}} = 4.854 + 4.623 + 90.703 = 100.18$

因为 price > par，所以 YTM 略低于 coupon rate
N=3, PMT=5, FV=100, PV=-100.18 → I/Y = 4.93%
YTM 是 spot rates 的加权平均

55.2 Par Yields 面值收益率

Par yield 是使债券以面值定价的 coupon rate。

$\frac{PMT}{1 + S _{1}} + \frac{PMT}{( 1 + S _{2} ) ^{2}} + \frac{PMT + 100}{( 1 + S _{3} ) ^{3}} = 100$

例题：S₁=1%, S₂=2%, S₃=3%，求 3 年 par yield

$\frac{PMT}{1.01} + \frac{PMT}{1.0 2 ^{2}} + \frac{PMT + 100}{1.0 3 ^{3}} = 100$

求解得 PMT = 2.96 → par yield = 2.96%

55.3 Forward Rates 远期利率

Forward rate 是未来某个时段的借贷利率，今天即可锁定。

记号： $_{j} y_k y$ = 从 $j$ 年后开始的 $k$ 年期借贷利率

1y1y = 1 年后开始的 1 年期利率
2y1y = 2 年后开始的 1 年期利率
2y2y = 2 年后开始的 2 年期利率

核心公式：Spot Rate 与 Forward Rate 的关系

$(1 + S_{2})^{2} = (1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y)$

$(1 + S_{3})^{3} = (1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y) (1 + 2 y 1 y)$

$(1 + S_{3})^{3} = (1 + S_{2})^{2} (1 + 2 y 1 y)$

从 spot rates 推导 forward rate

$1 y 1 y = \frac{( 1 + S _{2} ) ^{2}}{( 1 + S _{1} )} - 1$

例题：S₁ = 4%, S₂ = 8%，求 1y1y

$1 y 1 y = \frac{( 1.08 ) ^{2}}{1.04} - 1 = \frac{1.1664}{1.04} - 1 = 12.154%$

例题：S₂ = 8%, S₃ = 12%，求 2y1y

$2 y 1 y = \frac{( 1.12 ) ^{3}}{( 1.08 ) ^{2}} - 1 = \frac{1.4049}{1.1664} - 1 = 20.45%$

从 forward rates 推导 spot rate

$S_{3} = [(1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y) (1 + 2 y 1 y)]^{1/3} - 1$

例题：S₁=2%, 1y1y=3%, 2y1y=4%

$S_{3} = [(1.02) (1.03) (1.04)]^{1/3} - 1 = [1.0930]^{1/3} - 1 = 2.997%$

快速近似：S₃ ≈ (2 + 3 + 4) / 3 = 3%（与精确值非常接近）

Multi-period Forward Rate

$2 y 2 y = [\frac{( 1 + S _{4} ) ^{4}}{( 1 + S _{2} ) ^{2}}]^{1/2} - 1$

例题：S₂ = 6%, S₄ = 8%

$2 y 2 y = [\frac{1.0 8 ^{4}}{1.0 6 ^{2}}]^{1/2} - 1 = [\frac{1.3605}{1.1236}]^{1/2} - 1 = 10.04%$

用 Forward Rates 给债券定价

$P = \frac{C}{1 + S _{1}} + \frac{C}{( 1 + S _{1} ) ( 1 + 1 y 1 y )} + \frac{C + F V}{( 1 + S _{1} ) ( 1 + 1 y 1 y ) ( 1 + 2 y 1 y )}$

例题：3 年 5% annual coupon，1,000 面值。S₁=4%, 1y1y=5%, 2y1y=6%

$P = \frac{50}{1.04} + \frac{50}{( 1.04 ) ( 1.05 )} + \frac{1050}{( 1.04 ) ( 1.05 ) ( 1.06 )} = 48.08 + 45.79 + 907.11 = 1, 000.98$

55.4 三种收益率曲线的关系

graph TD
    F["Forward Curve\n远期利率曲线"] -->|"几何平均"| S["Spot Curve\n即期利率曲线"]
    S -->|"加权平均"| P["Par Curve\n面值收益率曲线"]
    
    subgraph "Normal (Upward-Sloping) Environment"
        F2["Forward rates 最高"]
        S2["Spot rates 居中"]
        P2["Par yields 最低\n(略低于 spot)"]
    end
    
    subgraph "Inverted (Downward-Sloping) Environment"
        F3["Forward rates 最低"]
        S3["Spot rates 居中"]
        P3["Par yields 最高\n(略高于 spot)"]
    end

三种环境下的排序：

环境	排序（高 → 低）
Normal (upward-sloping)	Forward > Spot > Par
Inverted (downward-sloping)	Par > Spot > Forward
Flat	Forward = Spot = Par

R56: Interest Rate Risk and Return 利率风险与收益

56.1 债券投资的三大收益来源

来源	说明
1. Coupon + Principal	票息和本金支付
2. Reinvestment income	coupon 再投资赚取的利息
3. Capital gain/loss	到期前出售产生的资本利得/损失

关键概念

Investment horizon（投资期限）：投资者计划持有债券的时间
Horizon yield（期限收益率）：投资期限内的年化复合回报率
Carrying value（账面价值）：按购买时 YTM 计算的某时点债券价值（constant-yield trajectory）

56.2 五大核心结论

假设：发行人不违约、coupon 按 YTM 再投资。

#	情形	结论
1	YTM 不变 + 持有到期	实际回报 = 购买时 YTM
2	YTM 不变 + 提前卖出	实际回报 = 购买时 YTM
3	YTM 上升 + 持有到期	实际回报 > 购买时 YTM（再投资收益增加）
4	YTM 上升 + 短期持有	实际回报 < 购买时 YTM（价格下跌损失 > 再投资收益）
5	YTM 下降 + 短期持有	实际回报 > 购买时 YTM（价格上涨收益 > 再投资损失）

Price Risk vs Reinvestment Risk

投资期限	主导风险
Short horizon	Price risk 价格风险（利率变化导致卖出价格不确定）
Long horizon	Reinvestment risk 再投资风险（利率变化影响 coupon 再投资收入）

两种风险方向相反：利率上升 → 价格下降（不利）但再投资收入增加（有利）。

例题：持有到期 + YTM 不变

3 年期 6% annual bond，YTM = 7%，购买价 97.376

到期时总收入：

Coupons + reinvestment = 6 × (1.07)² + 6 × (1.07) + 6 = 19.289
其中再投资收入 = 19.289 - 3×6 = 1.289
总终值 = 100 + 19.289 = 119.289
回报率 = (119.289 / 97.376)^(1/3) - 1 = 7.00% ✓

例题：YTM 变化 + 持有到期

同一债券，购后 YTM 立即升至 8%：

Coupons + reinvestment = 6(1.08)² + 6(1.08) + 6 = 19.478
回报率 = (119.478 / 97.376)^(1/3) - 1 = 7.06% > 7%

购后 YTM 降至 6%：

Coupons + reinvestment = 6(1.06)² + 6(1.06) + 6 = 19.102
回报率 = (119.102 / 97.376)^(1/3) - 1 = 6.94% < 7%

例题：YTM 变化 + 短期持有（1 年）

YTM 升至 8%，1 年后卖出：

Sale price: N=2, I/Y=8, PMT=6, FV=100 → PV = 96.433
Return = (6 + 96.433) / 97.376 - 1 = 5.19% < 7%

YTM 降至 6%，1 年后卖出：

Sale price: N=2, I/Y=6, PMT=6, FV=100 → PV = 100.00
Return = (6 + 100) / 97.376 - 1 = 8.86% > 7%

56.3 Macaulay Duration 麦考利久期

Macaulay Duration 是找到 price risk 和 reinvestment risk 恰好平衡的投资期限。

$M a cD = \frac{\sum _{t = 1}^{n} t \times \frac{C F _{t}}{( 1 + y ) ^{t}}}{P}$

即各现金流的时间加权平均，权重为每个现金流现值占总价格的比例。

例题：计算 Macaulay Duration

5 年期 11% annual coupon bond，价格 86.59，YTM = 15%

t	CF	PV = CF/(1.15)^t	Weight = PV/86.59
1	11	9.565	0.1105
2	11	8.318	0.0961
3	11	7.233	0.0835
4	11	6.289	0.0726
5	111	55.187	0.6373
Total		86.59	1.0000

$M a cD = 0.1105 (1) + 0.0961 (2) + 0.0835 (3) + 0.0726 (4) + 0.6373 (5) = 4.03 years$

解读：如果投资者的 investment horizon 恰好为 4.03 年，则无论 YTM 如何变化，price risk 和 reinvestment risk 相互抵消，实际回报 ≈ 购买时的 15% YTM。

Semiannual Bond 的 Macaulay Duration

对于 semiannual bond，先以半年期计算 duration（结果为 semiannual periods），再除以 2 得到年化值。

例题：2 年期 7% semiannual coupon bond，YTM 5%

t (periods)	CF	PV = CF/(1.025)^t	Weight
1	3.5	3.415	0.0329
2	3.5	3.331	0.0321
3	3.5	3.250	0.0313
4	103.5	93.766	0.9037
Total		103.762	1.0000

$M a c D_{se mi} = 0.0329 (1) + 0.0321 (2) + 0.0313 (3) + 0.9037 (4) = 3.806 periods$

$M a c D_{ann u a l} = 3.806/2 = 1.90 years$

56.4 Duration Gap

$Duration Gap = Macaulay Duration - Investment Horizon$

Duration Gap	含义	主要风险
Positive (MacD > horizon)	平均回款时间 > 持有期	Price risk（利率上升不利）
Negative (MacD < horizon)	平均回款时间 < 持有期	Reinvestment risk（利率下降不利）
Zero (MacD = horizon)	两种风险平衡	近似免疫（immunization）

56.5 Modified Duration 简介

Note

Modified Duration 的详细内容在 R57（Part 2），这里仅给出与 Macaulay Duration 的转换关系。

$M o d D u r = \frac{M a cD}{1 + \frac{Y TM}{n}}$

$Approximate % price change = - M o d D u r \times Δ Y TM$

例题：MacD = 4.03，YTM = 15%（annual） $M o d D u r = 4.03/1.15 = 3.50$

→ YTM 上升 0.5% 时，价格约下降 3.50 × 0.5% = 1.75%

Approximate Modified Duration

$Approx. ModDur = \frac{V _{-} - V _{+}}{2 \times V _{0} \times Δ Y TM}$

其中 $V_{-}$ = yield 下降后的价格， $V_{+}$ = yield 上升后的价格， $V_{0}$ = 当前价格。

例题：5 年 11% annual bond，价格 86.59，YTM 15%。YTM ±50 bps 时价格分别为 88.127 和 85.092。

$Approx. ModDur = \frac{88.127 - 85.092}{2 \times 86.59 \times 0.005} = \frac{3.035}{0.8659} = 3.505$

重点公式速查表

公式	表达式
Bond pricing (annual)	$P = \sum_{t = 1}^{n} \frac{C}{( 1 + r ) ^{t}} + \frac{F V}{( 1 + r ) ^{n}}$
Bond pricing (semiannual)	$P = \sum_{t = 1}^{2 n} \frac{C /2}{( 1 + r /2 ) ^{t}} + \frac{F V}{( 1 + r /2 ) ^{2 n}}$
Spot rate pricing	$P = \sum_{t = 1}^{n} \frac{C F _{t}}{( 1 + S _{t} ) ^{t}}$
Forward from spots	$(1 + S_{2})^{2} = (1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y)$
Spot from forwards	$S_{n} = [(1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y) \dots (1 +_{n - 1} y 1 y)]^{1/ n} - 1$
Accrued interest	$A I = C \times \frac{days since last coupon}{days in period}$
Current yield	$C Y = \frac{Annual coupon}{Price}$
EAY	$E A Y = (1 + \frac{Y TM}{n})^{n} - 1$
Macaulay Duration	$M a cD = \frac{\sum t \cdot P V ( C F _{t} )}{P}$
Modified Duration	$M o d D u r = \frac{M a cD}{1 + Y TM / n}$
Approx. ModDur	$\frac{V _{-} - V _{+}}{2 V _{0} Δ y}$
Price change	$Δ P \approx - M o d D u r \times Δ y \times P$
Repo purchase price	$\frac{MV of securities}{Initial margin}$
Repo haircut	1 - \frac{1}{\text{Initial margin}}$
Z-spread	加到每个 $S_{t}$ 使 $\sum \frac{C F _{t}}{( S _{t} + ZS ) ^{t}} = P$
OAS	$O A S = Z -spread - Option value$
FRN coupon	$MRR + QM$
Duration gap	$M a cD - Investment horizon$

Part 1 总结

固定收益前半部分从债券的基本特征出发，经过现金流结构、市场机制，深入到估值定价、各种收益率度量，最终到达利率期限结构和利率风险的核心概念——Duration。掌握这些内容的关键在于：

理解 price-yield 反向关系及其背后的 TVM 逻辑

熟练运用 spot rates、forward rates、par rates 之间的转换公式

深入理解 Duration 作为 price risk 和 reinvestment risk 平衡点的含义

区分各种 spread measures（G-spread、I-spread、Z-spread、OAS）的适用场景

掌握 FRN 的 QM vs DM 关系及其对价格的影响

Part 2: 利率风险进阶、信用风险与证券化（R57-R65）

R57: Yield-Based Bond Duration Measures and Properties 基于收益率的久期度量与性质

核心概念

在 Part 1 中我们已经介绍了 Macaulay Duration 的基本概念——它是债券现金流时间的加权平均值，权重为各期现金流的现值占比。现在我们深入研究 Duration 作为利率风险度量工具的各种变体和性质。

Modified Duration（修正久期）

Modified Duration (ModDur) 是对 Macaulay Duration 的调整，用来直接估算 YTM 变化 1% 时债券价格的百分比变动。

$M o d D u r = \frac{M a cD}{1 + \frac{Y TM}{n}}$

其中 $n$ 为每年付息频率（annual = 1, semiannual = 2）。

核心关系

$%Δ P \approx - M o d D u r \times Δ y$ 这是一个线性近似——负号表示 price 与 yield 反向变动。

数值例题：Modified Duration 计算

例题

一只 5 年期、11% 年付息债券，YTM = 15%，当前价格 86.59（per 100 par）。已知 Macaulay Duration = 4.025 年。

Step 1: 计算 ModDur $M o d D u r = \frac{4.025}{1 + 0.15} = \frac{4.025}{1.15} = 3.50$

Step 2: 如果 YTM 下降 50 bps（-0.005），估算价格变化 $%Δ P \approx - 3.50 \times (- 0.005) = + 1.75%$

Step 3: 估算新价格 $P_{n e w} = 86.59 \times 1.0175 = 88.105$

Approximate Modified Duration（近似修正久期）

实际中，我们常用数值近似法：上下各调 YTM 一个小幅度 $Δ y$ ，重新定价，然后套公式：

$A pp ro x M o d D u r = \frac{V _{-} - V _{+}}{2 \times V _{0} \times Δ y}$

$V_{-}$ ：YTM 下降 $Δ y$ 后的价格
$V_{+}$ ：YTM 上升 $Δ y$ 后的价格
$V_{0}$ ：当前价格

数值例题：Approximate ModDur

例题

一只 6 年期、14% 年付息债券，当前 trading at par（价格 = 100）。用 $Δ y = 25$ bps（0.0025）近似。

YTM 下降 25 bps 至 13.75%，计算得 $V_{-} = 100.979$

YTM 上升 25 bps 至 14.25%，计算得 $V_{+} = 99.035$

$A pp ro x M o d D u r = \frac{100.979 - 99.035}{2 \times 100 \times 0.0025} = \frac{1.944}{0.50} = 3.888$

Money Duration（货币久期）

Money Duration 将百分比 sensitivity 转化为绝对金额变动：

$M o n eyD u r = M o d D u r \times P_{f u ll}$

其中 $P_{f u ll}$ 是包含 accrued interest 的全价（full price）。

对于一个头寸的 Money Duration：

$M o n eyD u r_{p os i t i o n} = M o d D u r \times M V_{p os i t i o n}$

数值例题：Money Duration

例题

ModDur = 3.50，持有 10M par 的债券头寸，市场价值 = 86.59% × 10M = 8,659,138。

$M o n eyD u r = 3.50 \times 8, 659, 138 = 30, 306, 983$

如果 YTM 下降 50 bps： $Δ P \approx - 30, 306, 983 \times (- 0.005) = + 151, 535$

PVBP / DV01（一个基点的价格价值）

Price Value of a Basis Point (PVBP) 衡量 YTM 变化 1 bp 时价格的绝对变动：

$P V BP = M o d D u r \times P \times 0.0001$

或者用数值法：

$P V BP = \frac{V _{-} - V _{+}}{2}$

（其中 $Δ y = 1$ bp = 0.0001）

数值例题：PVBP

例题

7 年期、5.5% 半年付息债券，面值 1,000，当前价格 1,029.23。

Step 1: 先求 YTM。 $N = 14, PMT = 27.5, P V = - 1029.23, F V = 1000 \Rightarrow I / Y = 2.50%$ （半年），年化 YTM = 5.00%

Step 2: 分别以 YTM = 4.99% 和 5.01% 重新定价

$V_{-}$ （4.99%）= 1,029.82

$V_{+}$ （5.01%）= 1,028.63

Step 3: 计算 PVBP $P V BP = \frac{1029.82 - 1028.63}{2} = 0.595$

Duration 的性质

因素变化	Duration 变化方向	直觉解释
Maturity 增加	Duration 增大	现金流更远，价格对利率更敏感
Coupon rate 增加	Duration 减小	更多现金流在前面，加权时间缩短
YTM 增加	Duration 减小	远期现金流 PV 折得更多，权重降低
Time passes	Duration 减小	接近到期日（但在 coupon date 上会微跳）

FRN 的 Duration

浮动利率债券的 Duration 非常低，约等于距下一次 coupon reset date 的时间。因为利率重置后，FRN 价格会回到接近 par。

R58: Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties 凸性与组合特性

为什么需要 Convexity

Duration 只是一阶线性近似。真实的 price-yield 关系是一条凸曲线，不是直线。当 yield 变化较大时，duration-only 估算的误差会显著增大。

关键洞察

对于一只正 convexity 的 option-free 债券：

yield 下降时，duration 估算低估了价格上涨幅度

yield 上升时，duration 估算高估了价格下跌幅度

无论 yield 涨跌，convexity 调整项都是正的

Convexity 的计算

精确法：逐笔现金流计算

单个现金流在 $t$ 期的 convexity 贡献：

$C o n v e x i t y_{t} = \frac{t \times ( t + 1 )}{( 1 + r ) ^{2}}$

其中 $r$ 是 periodic yield。整个债券的 convexity 是加权平均值：

$C o n v e x i t y = \sum_{t = 1}^{n} w_{t} \times C o n v e x i t y_{t}$

年化 Convexity

对于半年付息债券，需要除以 periodicity 的平方。例如 semiannual 债券的 annualized convexity = periodic convexity / 2^2$ = periodic convexity / 4。

近似法：Approximate Convexity

$A pp ro x C o n v = \frac{V _{-} + V _{+} - 2 V _{0}}{V _{0} \times ( Δ y ) ^{2}}$

数值例题：Approximate Convexity

例题

还是 5 年期、11% 年付息、YTM = 15%、价格 86.59138 的债券。 YTM 变化 50 bps 时： $V_{-} = 88.12721$ ， $V_{+} = 85.09217$ 。

$A pp ro x C o n v = \frac{88.12721 + 85.09217 - 2 \times 86.59138}{86.59138 \times ( 0.005 ) ^{2}}$ $= \frac{0.03662}{0.002165} = 16.916$

Duration + Convexity 联合估价公式

$%Δ P \approx - M o d D u r \times Δ y + \frac{1}{2} \times C o n v e x i t y \times (Δ y)^{2}$

这是考试中最核心的公式之一。

graph TB
    A["Yield Change Δy"] --> B["Duration Effect<br/>-ModDur × Δy<br/>(一阶线性)"]
    A --> C["Convexity Effect<br/>½ × Conv × (Δy)²<br/>(二阶修正)"]
    B --> D["Total Price Change<br/>%ΔP = Duration Effect + Convexity Effect"]
    C --> D
    style B fill:#e6f3ff,stroke:#2196F3
    style C fill:#fff3e0,stroke:#FF9800
    style D fill:#e8f5e9,stroke:#4CAF50

数值例题：Duration + Convexity 联合估价

例题

债券 ModDur = 3.50，Convexity = 16.9，当前价格 86.59138。如果 YTM 下降 50 bps（ $Δ y = - 0.005$ ）：

Duration effect: $- 3.50 \times (- 0.005) = + 1.75%$

Convexity effect: $\frac{1}{2} \times 16.9 \times (- 0.005)^{2} = 0.5 \times 16.9 \times 0.000025 = + 0.0211%$

Total estimated change: $+ 1.75% + 0.0211% = + 1.7711%$

New price: $86.59138 \times 1.017711 = 88.125$

Money Convexity

类比 Money Duration，Money Convexity 用于估算头寸的绝对价格变动：

$M o n ey C o n = C o n v e x i t y \times M V$

$Δ P = - (M o n eyD u r \times Δ y) + \frac{1}{2} \times M o n ey C o n \times (Δ y)^{2}$

数值例题：Money Duration + Money Convexity

例题

ModDur = 3.50，Convexity = 16.9。持有 10M par，MV = 8,659,138。

MoneyDur = 3.50 × 8,659,138 = 30,306,983

MoneyCon = 16.9 × 8,659,138 = 146,339,432

YTM 下降 50 bps：

Duration effect = -(30,306,983 × -0.005) = +151,535

Convexity effect = 0.5 × 146,339,432 × 0.000025 = +1,829

Total = +153,364

New MV = 8,659,138 + 153,364 = 8,812,502

Convexity 的性质

Convexity 受到与 Duration 相同因素的影响：

因素变化	Convexity 变化
Maturity 更长	Convexity 更大
Coupon 更低	Convexity 更大
YTM 更低	Convexity 更大
现金流更分散	Convexity 更大

Portfolio Duration & Convexity（组合久期与凸性）

组合的 Duration 和 Convexity 可用加权平均法计算：

$D_{p} = \sum_{i = 1}^{N} w_{i} \times D_{i}$

$C o n v_{p} = \sum_{i = 1}^{N} w_{i} \times C o n v_{i}$

其中 $w_{i}$ = 第 $i$ 只债券市值 / 组合总市值。

局限性

这种方法假设 yield curve 发生平行移动（parallel shift）。如果曲线发生 steepening、flattening 或 twisting，加权平均法的估算精度会下降。

数值例题：Portfolio Duration

例题

债券 Market Value ModDur 权重
Bond A 4,000,000 2.5 40%
Bond B 3,000,000 5.2 30%
Bond C 3,000,000 8.7 30%
Total 10,000,000

$D_{p} = 0.40 \times 2.5 + 0.30 \times 5.2 + 0.30 \times 8.7 = 1.0 + 1.56 + 2.61 = 5.17$

如果所有 YTM 上升 100 bps： $%Δ P \approx - 5.17 \times 0.01 = - 5.17%$

债券	Market Value	ModDur	权重
Bond A	4,000,000	2.5	40%
Bond B	3,000,000	5.2	30%
Bond C	3,000,000	8.7	30%
Total	10,000,000

R59: Curve-Based and Empirical Fixed-Income Risk Measures 曲线久期与经验度量

为什么需要 Effective Duration

前面讨论的 Modified Duration 基于 YTM 变化——这只对option-free 债券有效，因为这些债券的未来现金流是确定的。

对于含有 embedded options 的债券（callable bonds、putable bonds、MBS），未来现金流不确定，YTM 本身没有一个明确定义。因此需要用 Effective Duration (EffDur)，它衡量的是价格对benchmark yield curve（基准收益率曲线） 移动的敏感度。

$E ff D u r = \frac{V _{-} - V _{+}}{2 \times V _{0} \times Δ C u r v e}$

与 ApproxModDur 的区别

公式形式相同，但分母中用的是 $Δ C u r v e$ （benchmark yield curve 的变化），而不是 $Δ Y TM$ 。

ModDur 用 YTM 变化，衡量的是全部收益率变化的价格敏感度

EffDur 用 benchmark curve 变化，只衡量无风险利率变化的影响，保持 spread 不变

Effective Convexity

$E ff C o n v = \frac{V _{-} + V _{+} - 2 V _{0}}{V _{0} \times ( Δ C u r v e ) ^{2}}$

$%Δ P \approx - E ff D u r \times Δ C u r v e + \frac{1}{2} \times E ff C o n v \times (Δ C u r v e)^{2}$

含权债券的特殊行为

Callable Bond（可赎回债券）

在低利率环境下，call option 很可能被行使，价格上涨受到 call price 的天花板限制
导致 callable bond 在低利率下可以展现负凸性（negative convexity）
Effective Duration 低于同等 option-free 债券的 ModDur

Putable Bond（可回售债券）

在高利率环境下，put option 有价值，价格下跌受到 put price 的地板支撑
Putable bond 始终保持正凸性
Effective Duration 也低于同等 option-free 债券

特性	Option-Free Bond	Callable Bond	Putable Bond
Convexity	始终正	低利率时可为负	始终正
Duration vs option-free	基准	更低（低利率时）	更低（高利率时）
价格上限/下限	无	Call price 为上限	Put price 为下限
类似于	纯债券	债券 + short call	债券 + long put

Macaulay vs Modified vs Effective Duration 对比

特性	Macaulay Duration	Modified Duration	Effective Duration
定义	现金流的加权平均时间	MacD / (1+y/n)	对 benchmark curve 的价格敏感度
单位	年	%/%	%/%
基准变量	无（是时间度量）	YTM 变化	Benchmark yield curve 变化
适用范围	Option-free 固定利率债券	Option-free 固定利率债券	所有债券（含权、MBS 等）
公式	$\sum t \cdot w_{t}$	$M a cD / (1 + y / n)$	$(V_{-} - V_{+}) / (2 V_{0} Δ C u r v e)$
现金流假设	确定	确定	可以不确定

Key Rate Duration（关键利率久期）

Effective Duration 衡量的是 yield curve 平行移动的影响。但现实中曲线变动很少是平行的——可能是 steepening、flattening 或 twisting。

Key Rate Duration（也叫 Partial Duration）衡量的是收益率曲线上某一特定期限的利率变化对债券/组合价格的影响，同时保持其他期限利率不变。

$\sum_{j} Key R a t eD u r_{j} = E ff D u r$

Key rate duration 特别适合衡量 shaping risk（形状风险）——即非平行移动对组合价值的影响。

数值例题：Key Rate Duration

例题

一个组合等权投资于：5 年期零息债券（YTM = 5%）和 10 年期附息债券（YTM = 6%）。

5 年期零息债券的 ModDur = MacD / (1+y) = 5 / 1.05 = 4.762

5 年 key rate duration = 4.762 × 0.50 = 2.381（在组合中的贡献）

10 年期债券的 ModDur = 10 / 1.06 = 9.434（假设零息简化）

10 年 key rate duration = 9.434 × 0.50 = 4.717（在组合中的贡献）

场景：5 年利率上升 50 bps，10 年利率下降 25 bps：

5 年效应： $- 2.381 \times 0.0050 = - 1.19%$

10 年效应： $- 4.717 \times (- 0.0025) = + 1.18%$

组合总变化 = -1.19% + 1.18% = -0.01%（几乎不变）

Analytical Duration vs Empirical Duration

类型	Analytical Duration	Empirical Duration
方法	数学模型推导	历史数据统计回归
包含	Macaulay、Modified、Effective	从实际 price-yield 数据估计
假设	Spread 与 benchmark 变动不相关	无此假设
适用	政府债券、高信用质量债券	公司债券、高收益债券

何时用 Empirical Duration？

在 flight to quality 场景中（市场恐慌，投资者抛售信用债买入国债），benchmark yield 下降但 credit spread 同时上升，导致公司债价格可能不涨反跌。此时 analytical duration 会高估价格上涨，而 empirical duration 能更准确地反映真实 sensitivity。

R60: Credit Risk 信用风险

什么是 Credit Risk

Credit risk 是债券投资者面临的借款人无法按时足额支付利息和/或本金的风险。当借款人无法履行债务义务时，即为 default（违约）。

Credit Analysis 的 “C” 因素

Bottom-Up 因素（微观）—— 5 个 C

因素	含义
Capacity	借款人偿债能力——收入、现金流够不够
Capital	借款人自有资本——对债务的依赖程度
Collateral	抵押品——违约时可以变卖偿债的资产
Covenants	债务条款——对借款人行为的法律约束
Character	品质与诚信——管理层是否有良好还款意愿和记录

Top-Down 因素（宏观）—— 3 个 C

因素	含义
Conditions	宏观经济环境
Country	政治、法律、地缘风险
Currency	汇率风险对偿债能力的影响

信用风险的度量

Expected Loss（预期损失）

$E x p ec t e d L oss = P D \times L G D$

PD (Probability of Default)：违约概率，通常年化表示
LGD (Loss Given Default)：违约损失率

Loss Severity 与 Recovery Rate

$L oss S e v er i t y = 1 - R eco v ery R a t e$

$L G D % = E A D \times (1 - R eco v ery R a t e)$

Recovery Rate：违约后投资者能回收的比例
EAD (Exposure at Default)：违约时的风险敞口（本金 + 应计利息 - 抵押品价值）

Credit Spread 估算

$C re d i t Sp re a d \approx P D \times L G D %$

数值例题：Expected Loss 与 Credit Spread

例题

某债券发行人 PD = 3%，其债券的 recovery rate = 75%。债券 coupon = 4%，trading at par。同期限政府债券收益率 2.5%。

Step 1: 计算 LGD% $L G D % = 1 - 0.75 = 25%$

Step 2: 估算 fair credit spread $C re d i t Sp re a d \approx 0.03 \times 0.25 = 0.0075 = 0.75%$

Step 3: 比较实际 spread

实际 spread = 4% - 2.5% = 1.5%

Fair spread = 0.75%

实际 spread > fair spread，说明投资者被过度补偿了，这只债券可能具有投资价值

重要条款

Cross-default clause：一只债务违约 → 触发同一发行人所有债务违约
Pari passu clause：同类型债务在违约时享有同等求偿权
Illiquid vs Insolvent：流动性不足 ≠ 资不抵债。Illiquid 的发行人可能只是暂时筹不到现金但资产仍大于负债

Credit Ratings（信用评级）

graph LR
    subgraph "Investment Grade<br/>投资级"
        AAA["AAA/Aaa"]
        AA["AA/Aa"]
        A["A/A"]
        BBB["BBB/Baa"]
    end
    subgraph "Non-Investment Grade<br/>投机级 (High Yield / Junk)"
        BB["BB/Ba"]
        B["B/B"]
        CCC["CCC/Caa"]
        CC["CC/Ca"]
        C["C"]
        D["D (Default)"]
    end
    AAA --- AA --- A --- BBB --- BB --- B --- CCC --- CC --- C --- D
    style AAA fill:#2E7D32,color:#fff
    style AA fill:#388E3C,color:#fff
    style A fill:#43A047,color:#fff
    style BBB fill:#66BB6A,color:#fff
    style BB fill:#FF8F00,color:#fff
    style B fill:#EF6C00,color:#fff
    style CCC fill:#E65100,color:#fff
    style CC fill:#D84315,color:#fff
    style C fill:#BF360C,color:#fff
    style D fill:#B71C1C,color:#fff

Investment Grade: BBB-/Baa3 及以上 Non-Investment Grade（High Yield / Junk）: BB+/Ba1 及以下

Credit rating 的局限性：

评级滞后于市场：市场价格和 spread 变动远快于评级调整
难以预测的风险：诉讼、并购、自然灾害等难以在评级中体现
评级机构也会犯错：2008 次贷危机中大量 subprime MBS 被给予过高评级
Split ratings：同一债券可能从不同评级机构获得不同评级

Credit Spread 的影响因素

宏观因素

经济扩张期：违约率下降 → spread 收窄
经济衰退期：违约率上升 → spread 扩大
High-yield spread 波动大于 investment grade spread
Flight to quality：危机时资金涌向安全资产，government yield 下降而 corporate spread 急剧扩大

发行人因素

财务表现恶化 → spread 扩大
比较同评级同行业的 spread 水平

市场因素（Market Liquidity）

Bid-offer spread 反映流动性风险
Bid-offer spread 越大 → 流动性风险越大 → yield spread 中的 liquidity component 越大

$Yi e l d Sp re a d = C re d i t Sp re a d + L i q u i d i t y Sp re a d$

Spread 变化对价格的影响

$%Δ P \approx - M o d D u r \times Δ Sp re a d + \frac{1}{2} \times C o n v \times (Δ Sp re a d)^{2}$

R61: Credit Analysis for Government Issuers 政府信用分析

Sovereign Debt（主权债务）

主权政府的偿债能力主要来自税收。评估要考虑 5 个定性因素 + 3 个定量因素。

5 个定性因素

Institutions and policy factors（制度与政策）：政治稳定性、法治水平、债务偿还文化、sovereign immunity（主权豁免——政府拒绝还债时债权人通常没有法律追索权）
Fiscal flexibility（财政灵活性）：政府增税或减支的能力
Monetary effectiveness（货币政策有效性）：央行独立性、控制通胀能力。独立的央行更不容易为政府债务”印钱”
Economic flexibility（经济灵活性）：增长趋势、人均收入、经济多元化
External status（外部地位）：货币是否为 reserve currency（储备货币），地缘政治风险

3 个定量因素

Fiscal strength（财政实力）：Debt/GDP、Debt/Revenue、Interest/GDP 等比率
Economic growth and stability（经济增长与稳定性）：Real GDP 增速、GDP 规模、人均 GDP、GDP 波动率
External stability（外部稳定性）：外汇储备/GDP、外债/GDP、短期外债比例

Non-Sovereign Government Debt（非主权政府债务）

类型	说明	信用评级依据
Agencies	政府设立的准政府机构（如基础设施建设）	通常接近主权评级（隐含政府支持）
Government sector banks	政府支持的金融机构（如发行绿色债券）	类似于 agencies
Supranational issuers	世界银行、亚洲开发银行等多国组织	取决于成员国支持力度
Regional governments	省/州/市级政府（美国叫 municipal bonds）	取决于当地经济和税基

Municipal Bonds（市政债券）

General Obligation (GO) Bonds：以政府的全部信用和征税权为担保的无担保债券
Revenue Bonds：以特定项目（机场、收费公路、医院等）的收入为偿债来源
Revenue bonds 通常信用风险 > GO bonds（因为偿债来源更单一）

Sovereign vs Municipal 关键区别

主权政府可以印钞偿债（虽然会带来通胀）

地方政府不能使用货币政策，必须平衡预算

R62: Credit Analysis for Corporate Issuers 公司信用分析

定性因素

因素	高信用质量的特征
Business model	稳定、可预测的现金流
Industry competition	行业竞争不激烈
Business risk	收入和利润偏差小
Corporate governance	健全的治理机制、保护债权人的 covenants

Covenants 详解

Affirmative covenants（肯定性条款）：要求发行人做某些事（如按时提交财报、维护资产、缴税）
Negative covenants（否定性条款）：限制发行人做某些事（如限制额外借债、限制分红、限制资产出售）
Investment grade 发行人通常以 affirmative covenants 为主
High-yield 发行人通常有更多 negative covenants

定量因素——关键财务指标

类型	指标	公式	高信用质量 =
Profitability	EBIT margin	EBIT / Revenue	更高
Coverage	Interest coverage	EBIT / Interest expense	更高
Leverage	Debt/EBITDA	Total debt / EBITDA	更低
Leverage	RCF/Net debt	(CFO - Dividends) / (Debt - Cash)	更高

关键现金流指标

CFO (Cash Flow from Operations)：经营活动现金流

FFO (Funds from Operations)：净利润 + 折旧摊销 + 递延税 + 非现金项目（不含营运资本变动）

FCF (Free Cash Flow)：CFO - CapEx + Net interest expense

RCF (Retained Cash Flow)：CFO - Dividends

数值例题：公司信用分析比较

例题

指标 York, Inc. Zale, Inc.
Revenue 2,200,000 11,000,000
EBIT 550,000 2,250,000
D&A 220,000 900,000
CFO 300,000 850,000
Interest Expense 40,000 160,000
Total Debt 1,900,000 2,700,000
Cash & Securities 500,000 1,000,000
Dividends 30,000 200,000

Profitability: EBIT margin

York: 550/2200 = 25% | Zale: 2250/11000 = 20.5% → York 更优

Coverage: EBIT / Interest

York: 550/40 = 13.8x | Zale: 2250/160 = 14.1x → 基本相当

Leverage: Debt / EBITDA

York: 1900 / (550+220) = 2.5x | Zale: 2700 / (2250+900) = 0.9x → Zale 杠杆更低

Leverage: RCF / Net Debt

York: (300-30) / (1900-500) = 19% | Zale: (850-200) / (2700-1000) = 38% → Zale 更优

结论：综合来看各有优劣——York 更赚钱但杠杆更高，Zale 杠杆更健康。

指标	York, Inc.	Zale, Inc.
Revenue	2,200,000	11,000,000
EBIT	550,000	2,250,000
D&A	220,000	900,000
CFO	300,000	850,000
Interest Expense	40,000	160,000
Total Debt	1,900,000	2,700,000
Cash & Securities	500,000	1,000,000
Dividends	30,000	200,000

Seniority Ranking（优先级排名）

优先级	类型	描述	Recovery Rate
1	First lien / Mortgage	以特定资产为担保的第一顺位债权	最高
2	Senior secured (2nd lien)	第二顺位担保	高
3	Junior secured	次级担保	中高
4	Senior unsecured	无担保的高级债务	中
5	Senior subordinated	高级次级	中低
6	Subordinated	次级	低
7	Junior subordinated	最低级次级	最低

关键概念

Pari passu：同一层级的债务享有同等求偿权

Notching：评级机构对同一发行人的不同 issue 给予不同评级。Secured debt 通常被 notch up，subordinated debt 被 notch down

Corporate Family Rating (CFR)：发行人层面的评级（通常基于 senior unsecured debt）

Corporate Credit Rating (CCR)：individual issue 层面的评级

Structural subordination：子公司的债权人对子公司现金流有优先权，母公司债权人实际上被”结构性次级化”

R63: Fixed-Income Securitization 证券化

什么是 Securitization

Securitization（证券化） 是将一组不流动的贷款或应收账款（collateral）转化为可交易证券（ABS）的过程。

graph LR
    A["Borrowers<br/>借款人<br/>(房贷/车贷/信用卡)"] -->|"Monthly payments<br/>月供"| B["Originator / Seller<br/>贷款发起人"]
    B -->|"Sell loan pool<br/>出售贷款池"| C["SPE / SPV<br/>特殊目的实体"]
    C -->|"Issue ABS<br/>发行证券"| D["Investors<br/>投资者"]
    D -->|"Cash<br/>购买资金"| C
    C -->|"Purchase price<br/>购买价款"| B
    
    subgraph "Tranching Structure"
        E["Senior Tranche A<br/>AAA rated<br/>最低收益率"]
        F["Mezzanine Tranche B<br/>BBB rated<br/>中等收益率"]
        G["Equity Tranche C<br/>Unrated<br/>最高收益率<br/>最先承担损失"]
    end
    C --> E
    C --> F
    C --> G
    
    style A fill:#e3f2fd
    style B fill:#fff3e0
    style C fill:#f3e5f5
    style D fill:#e8f5e9
    style E fill:#2E7D32,color:#fff
    style F fill:#FF8F00,color:#fff
    style G fill:#C62828,color:#fff

参与方与角色

参与方	角色
Originator / Seller	发起贷款，然后出售给 SPE
SPE / SPV (Special Purpose Entity/Vehicle)	独立法律实体，购买贷款、发行 ABS
Servicer	收取贷款还款、发送催收通知、处理违约（可以是 originator 本身）
Trustee	监督 SPE 运营，保护 ABS 投资者利益（disinterested trustee）

Bankruptcy Remote（破产隔离）

SPE 与 originator 是法律上完全独立的实体。即使 originator 破产，SPE 持有的贷款池和 ABS 投资者的权益不受影响。这就是 bankruptcy remote 的含义。

证券化的收益与风险

对 Originator 的好处

增加业务量：出售贷款后获得现金，可以发放更多贷款
提高盈利能力：收取发起费和出售费用
降低资本金要求：贷款移出资产负债表
改善流动性：将不流动的贷款转化为现金

对投资者的好处

定制化风险/收益：通过 tranching 选择适合的风险等级
获取资产池：无需具备贷款发放和服务能力
流动性：ABS 比底层贷款更容易交易

对经济/市场的好处

降低流动性风险
提高市场效率
降低融资成本
降低发起人杠杆

风险

底层资产现金流的时间和金额不确定（尤其是 prepayment risk）
底层资产的信用风险会传递给投资者（2008 金融危机的教训）

R64: Asset-Backed Security (ABS) Instrument and Market Features

Covered Bonds（担保债券）

Covered bonds 与 ABS 类似，但有关键区别：

特征	ABS	Covered Bond
资产位置	转移到 SPE（表外）	留在发行人资产负债表上
投资者追索权	仅对 SPE 的资产池	Dual recourse：对资产池 + 对发行人
资本金减免	是（资产移出表外）	否
资产池管理	固定的（发行时确定）	动态的（发行人需替换不良资产）
Tranching	有（senior/subordinated）	通常没有
收益率	较高	较低（因为双重追索权保护更强）

Covered bond 的类型：

Hard-bullet：错过支付 → 立即违约 → 加速偿还
Soft-bullet：可延迟到期日最多约一年
Conditional pass-through：到期后转为 pass-through 模式

Internal Credit Enhancement（内部信用增强）

方法	机制
Overcollateralization	资产池价值 > ABS 面值。例如 600M 资产支持 500M 的 ABS，有 100M 的超额抵押
Excess spread	资产池利息收入 > 支付给 ABS 投资者的利息，差额作为准备金
Credit tranching (Subordination)	分层结构：低层级 tranche 先承担损失，保护高层级 tranche

Waterfall Structure（瀑布结构）

损失从最低级的 equity tranche 开始向上吸收。只有损失超过所有次级 tranche 的本金之后，senior tranche 才会受损。

例题

Tranche Face Value Interest Rate
Tranche A (Senior) 300M MRR + 0.5%
Tranche B (Mezzanine) 80M MRR + 1.5%
Tranche C (Equity) 30M Variable
Total 410M

损失 0-30M：由 Tranche C 吸收

损失 30M-110M：由 Tranche B 吸收

损失 > 110M：Tranche A 开始受损

Senior Tranche A 受到 110M / 410M = 26.8% 的损失保护

Non-Mortgage ABS 类型

Credit Card ABS（信用卡 ABS）

底层资产：信用卡应收账款（nonamortizing——无固定还本计划）
Lockout period / Revolving period：投资者只收利息，本金还款用于购买新的应收账款维持池子规模
Amortization period：锁定期结束后，本金开始流向投资者
Early amortization provision：如果信用质量恶化，提前触发还本

Solar ABS

底层资产：给房主安装太阳能系统的贷款
对 ESG 投资者有吸引力
Pre-funding period：募集资金后在一定期限内继续投资新的太阳能贷款
信用增强方法与一般 ABS 相同

CDO / CLO（抵押债务凭证 / 抵押贷款凭证）

CDO (Collateralized Debt Obligation) 是由一个贷款/债券池支持的结构化证券，与普通 ABS 的关键区别在于有一个 collateral manager 可以主动买卖池中的资产。

类型	底层资产
CBO (Collateralized Bond Obligation)	公司债券和新兴市场债券
CLO (Collateralized Loan Obligation)	杠杆贷款（leveraged bank loans）
CMO (Collateralized Mortgage Obligation)	抵押贷款或 MBS

CLO 的三种类型：

Cash flow CLOs：通过底层资产现金流付款
Market value CLOs：通过交易底层资产产生回报
Synthetic CLOs：通过信用衍生品获得敞口（不实际持有贷款）

ABS vs MBS 特征对比

特征	ABS (Non-Mortgage)	RMBS	CMBS
底层资产	信用卡、汽车贷、太阳能贷等	住宅抵押贷款	商业地产抵押贷款
Prepayment risk	信用卡 ABS 无（revolving period）	核心风险	较低（有 call protection）
信用分析关注点	资产池质量	借款人信用、LTV、DTI	物业信用（不是借款人）
关键比率	违约率、excess spread	LTV、DTI	DSCR、LTV
Tranching 类型	主要是 credit tranching	Credit + Time tranching	Credit tranching

R65: Mortgage-Backed Security (MBS) Instrument and Market Features

Prepayment Risk（提前偿还风险）

MBS 投资者面临的核心风险。借款人可以在到期前偿还抵押贷款本金（refinance 或卖房）。

风险类型	触发条件	对投资者的影响
Contraction risk	利率下降 → 借款人加速再融资	提前拿回本金，但只能以更低利率再投资
Extension risk	利率上升 → 再融资减少	本金回收变慢，现金流被以更高折现率折现

MBS 的负凸性

MBS 类似于 callable bond——借款人有提前偿还的”call option”。在低利率环境下，prepayment 加速，价格上涨受限 → 展现负凸性 (negative convexity)。

Residential Mortgage Loan 的基本特征

特征	说明
Prepayment penalties	提前还款罚金——欧洲常见，美国少见
Recourse loans	违约后贷方可追索借款人其他资产
Nonrecourse loans	贷方只能追索抵押物本身。美国大多数州是 nonrecourse
Underwater mortgage	房产价值 < 贷款余额。Nonrecourse loan 的借款人更可能”战略性违约”

LTV 和 DTI

$L T V = \frac{M or t g a g e A m o u n t}{P ro p er t y Va l u e}$

$D T I = \frac{M o n t h l y De b t P a y m e n t s}{M o n t h l y P re t a x I n co m e}$

LTV 越低 → 借款人权益越多 → 违约风险越低 → 信用越好
DTI 越低 → 借款人偿债压力越小 → 信用越好

数值例题：DTI 计算

例题

借款人购买 400,000 房产，贷款 300,000（LTV = 75%），年利率 6%，25 年期月供。借款人年税前收入 80,000。

Step 1: 计算月供 $N = 300, I / Y = 0.5%, P V = 300, 000, F V = 0 \Rightarrow PMT = 1, 932.90$

Step 2: 月收入 $80, 000/12 = 6, 667$

Step 3: DTI $D T I = \frac{1 , 932.90}{6 , 667} = 29%$

Prime vs Subprime

Prime loans：低 LTV、低 DTI、良好信用记录的贷款
Subprime loans：高 DTI、高 LTV、或信用记录较差的贷款——违约概率更高

Agency vs Non-Agency RMBS

特征	Agency RMBS	Non-Agency RMBS
发行/担保人	政府或 GSE（如 Ginnie Mae, Fannie Mae, Freddie Mac）	私人机构（银行等）
政府担保	有（至少 GSE 隐含担保）	无
抵押贷款标准	必须符合最低承销标准	可包含 subprime loans
信用增强	政府/GSE 担保本身就是	需要外部保险、tranching、信用证等
信用风险	极低	较高

Mortgage Pass-Through Securities

最基本的 MBS 形式：投资者直接获得底层抵押贷款池的现金流份额。

关键特征：

WAM (Weighted Average Maturity)：按各笔贷款当前余额加权的平均剩余到期时间
WAC (Weighted Average Coupon)：按各笔贷款当前余额加权的平均利率
Pass-through rate (Net interest / Net coupon)：WAC 减去服务费和担保费后的投资者实际收到的利率

数值例题：WAM 和 WAC

例题

Mortgage Rate Current Balance (000) Months to Maturity
A 2.6% 90 210
B 1.0% 72 100
C 5.4% 247 280

Total current balance = 90 + 72 + 247 = 409

$W A M = 210 \times \frac{90}{409} + 100 \times \frac{72}{409} + 280 \times \frac{247}{409} = 46.2 + 17.6 + 169.1 = 233 m o n t h s$

$W A C = 2.6% \times \frac{90}{409} + 1.0% \times \frac{72}{409} + 5.4% \times \frac{247}{409} = 0.57% + 0.18% + 3.26% = 4.0%$

CMO (Collateralized Mortgage Obligation)

CMO 将 pass-through MBS 的现金流重新分配到不同的 tranches，以满足不同投资者对 prepayment risk 的偏好。

Sequential Pay CMO

最简单的结构：所有本金（包括 prepayment）先支付给 Tranche 1，还清后再支付给 Tranche 2，以此类推。

Tranche 1（Short tranche）：更好地防止 extension risk（先拿回本金）
Tranche 2+（Long tranches）：更好地防止 contraction risk（在 Tranche 1 还清前不收到本金）

其他 CMO 结构

Tranche 类型	特征
Z-tranche	Accrual bond——在 accrual period 内不收利息，利息累计增加本金。通常是最低层级
PO (Principal-Only)	只收本金，类似零息债券。利率下降 → prepayment 加速 → PO 受益
IO (Interest-Only)	只收利息。利率下降 → prepayment 加速 → IO 受损（本金更快消失）
Floating-rate tranche	利率浮动，可设 cap/floor。也有 inverse floater
Residual tranche	类似 equity tranche，承担剩余风险
PAC tranche	只要 prepayment speed 在预设范围内，就能获得稳定现金流
Support tranche	吸收 PAC 之外的 prepayment 波动，contraction 和 extension risk 都比 PAC 大

CMBS (Commercial Mortgage-Backed Securities)

与 RMBS 的关键区别

特征	RMBS	CMBS
底层贷款	住宅抵押	商业地产抵押（公寓、写字楼、酒店、购物中心等）
信用分析对象	借款人	物业（tenants, rental income）
贷款数量	大量（数千笔）	较少（甚至单笔大额贷款）
Coupon	固定或浮动	美国以固定为主，欧洲渐多浮动
Prepayment risk	高	低（有多层 call protection）
贷款类型	全额摊还	通常部分摊还 → 有 balloon payment

CMBS 信用分析关键比率

$D SCR = \frac{N e t Op er a t in g I n co m e}{De b t S er v i ce}$

$L T V = \frac{C u rre n t M or t g a g e A m o u n t}{C u rre n t A pp r ai se d Va l u e}$

DSCR 越高 → 现金流对偿债的保障越充分
LTV 越低 → 抵押物对贷款的覆盖越充分

CMBS Call Protection（提前偿还保护）

Loan-level:

Prepayment lockout：一定期限内禁止提前还款
Prepayment penalty points：罚金（按 prepaid 本金的百分比收取）
Defeasance：用政府债券替换原始贷款作为担保，贷方继续收到相同现金流

CMBS-level: Sequential pay tranching（低层级 tranche 先吸收 prepayment）

Balloon Risk（气球风险）

CMBS 贷款通常不完全摊还，到期时有一笔大额本金（balloon payment）需要一次性偿还。如果借款人无法再融资，就会违约。这种风险叫 balloon risk，本质上是一种 extension risk。

重点公式速查表（完整版 R47-R65）

公式	表达式
Bond pricing (annual)	$P = \sum_{t = 1}^{n} \frac{C}{( 1 + r ) ^{t}} + \frac{F V}{( 1 + r ) ^{n}}$
Bond pricing (semiannual)	$P = \sum_{t = 1}^{2 n} \frac{C /2}{( 1 + r /2 ) ^{t}} + \frac{F V}{( 1 + r /2 ) ^{2 n}}$
Spot rate pricing	$P = \sum_{t = 1}^{n} \frac{C F _{t}}{( 1 + S _{t} ) ^{t}}$
Forward from spots	$(1 + S_{2})^{2} = (1 + S_{1}) (1 + 1 y 1 y)$
Accrued interest	$A I = C \times \frac{days since last coupon}{days in period}$
Current yield	$C Y = \frac{Annual coupon}{Price}$
EAY	$E A Y = (1 + \frac{Y TM}{n})^{n} - 1$
Macaulay Duration	$M a cD = \frac{\sum t \cdot P V ( C F _{t} )}{P}$
Modified Duration	$M o d D u r = \frac{M a cD}{1 + Y TM / n}$
Approx. ModDur	$\frac{V _{-} - V _{+}}{2 V _{0} Δ y}$
Price change (1st order)	$%Δ P \approx - M o d D u r \times Δ y$
Money Duration	$M o n eyD u r = M o d D u r \times P$
PVBP	$P V BP = M o d D u r \times P \times 0.0001$
Approx. Convexity	$\frac{V _{-} + V _{+} - 2 V _{0}}{V _{0} ( Δ y ) ^{2}}$
Price change (2nd order)	$%Δ P \approx - M o d D u r \times Δ y + \frac{1}{2} C o n v \times (Δ y)^{2}$
Effective Duration	$\frac{V _{-} - V _{+}}{2 V _{0} Δ C u r v e}$
Effective Convexity	$\frac{V _{-} + V _{+} - 2 V _{0}}{V _{0} ( Δ C u r v e ) ^{2}}$
Portfolio Duration	$D_{p} = \sum w_{i} D_{i}$
Expected Loss	$E L = P D \times L G D$
Credit Spread	$\approx P D \times L G D %$
Loss Severity	$= 1 - R eco v ery R a t e$
Spread impact on price	$%Δ P \approx - M o d D u r \times Δ Sp re a d + \frac{1}{2} C o n v \times (Δ Sp re a d)^{2}$
LTV	$\frac{M or t g a g e A m o u n t}{P ro p er t y Va l u e}$
DTI	$\frac{M o n t h l y De b t P a y m e n t s}{M o n t h l y P re t a x I n co m e}$
DSCR	$\frac{N e t Op er a t in g I n co m e}{De b t S er v i ce}$
WAM	$\sum w_{i} \times M a t u r i t y_{i}$ （权重 = 当前余额占比）
WAC	$\sum w_{i} \times R a t e_{i}$ （权重 = 当前余额占比）
Z-spread	加到每个 $S_{t}$ 使 $\sum \frac{C F _{t}}{( S _{t} + ZS ) ^{t}} = P$
OAS	$O A S = Z -spread - Option value$
FRN coupon	$MRR + QM$
Duration gap	$M a cD - Investment horizon$

科目总结（R47-R65 全覆盖）

Top 10 考点

Duration + Convexity 联合估价： $%Δ P \approx - M o d D u r \times Δ y + \frac{1}{2} C o n v \times (Δ y)^{2}$ —— 考试计算题重点中的重点
Price-Yield 反向关系：yield 上升 → price 下降；yield 下降 → price 上升。掌握背后的 TVM 逻辑
Spot rate / Forward rate / Par rate 的相互转换： $(1 + S_{n})^{n} = (1 + S_{n - 1})^{n - 1} \times (1 + f_{n - 1, 1})$
各种 Duration 的区别：Macaulay（时间）、Modified（%/YTM 变化）、Effective（%/Curve 变化）、Key Rate（特定期限）
Spread measures：G-spread、I-spread、Z-spread、OAS 各自定义和适用场景
Credit Risk 的度量： $E x p ec t e d L oss = P D \times L G D$ ，Credit Spread $\approx P D \times L G D %$
Securitization 结构：Originator → SPE → Tranches → Investors。理解 bankruptcy remote、credit enhancement
MBS Prepayment Risk：Contraction risk（利率下降）和 Extension risk（利率上升），MBS 的负凸性
Callable vs Putable bonds：Callable = bond + short call（低利率下负凸性），Putable = bond + long put（始终正凸性）
Corporate credit analysis：Profitability、Coverage、Leverage 三类指标，Seniority ranking，Notching

固定收益知识地图

graph TB
    FI["Fixed Income<br/>固定收益"] --> BASICS["基础<br/>R47-R49"]
    FI --> VALUATION["估值<br/>R50-R53"]
    FI --> RISK["利率风险<br/>R54-R59"]
    FI --> CREDIT["信用风险<br/>R60-R62"]
    FI --> SECURITIZATION["证券化<br/>R63-R65"]
    
    BASICS --> B1["Bond Features<br/>债券基本特征"]
    BASICS --> B2["Cash Flows<br/>现金流结构"]
    BASICS --> B3["Bond Markets<br/>债券市场"]
    
    VALUATION --> V1["Bond Pricing<br/>定价 (Spot/Forward)"]
    VALUATION --> V2["Yield Measures<br/>收益率度量"]
    VALUATION --> V3["Term Structure<br/>期限结构"]
    VALUATION --> V4["Spread Measures<br/>利差度量"]
    
    RISK --> R1["Duration<br/>久期"]
    RISK --> R2["Convexity<br/>凸性"]
    RISK --> R3["Effective Duration<br/>有效久期"]
    RISK --> R4["Key Rate Duration<br/>关键利率久期"]
    RISK --> R5["Empirical Duration<br/>经验久期"]
    
    R1 --> R1a["Macaulay Duration"]
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    R1 --> R1c["Money Duration / PVBP"]
    
    CREDIT --> C1["Credit Risk Components<br/>PD × LGD"]
    CREDIT --> C2["Credit Ratings<br/>评级体系"]
    CREDIT --> C3["Sovereign Analysis<br/>主权分析"]
    CREDIT --> C4["Corporate Analysis<br/>公司分析"]
    CREDIT --> C5["Seniority & Notching<br/>优先级与评级调整"]
    
    SECURITIZATION --> S1["ABS Structure<br/>SPE + Tranching"]
    SECURITIZATION --> S2["Credit Enhancement<br/>信用增强"]
    SECURITIZATION --> S3["RMBS<br/>住宅MBS"]
    SECURITIZATION --> S4["CMBS<br/>商业MBS"]
    SECURITIZATION --> S5["Non-Mortgage ABS<br/>信用卡/太阳能"]
    
    S3 --> S3a["Pass-Through"]
    S3 --> S3b["CMO Tranches"]
    S3 --> S3c["Prepayment Risk"]
    
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学习建议

固定收益是 CFA L1 中权重最高的科目之一（约 11-14%），计算量大，概念密集。建议：

公式必须熟练：Duration/Convexity 的计算是必考内容

理解直觉：Price-yield 的凸性关系、Duration 的性质、Spread 的经济含义

对比记忆：Macaulay vs Modified vs Effective，ABS vs MBS vs CMBS，Agency vs Non-agency

实战练习：多做数值计算题，确保在时间压力下能快速准确完成

Tranche	Face Value	Interest Rate
Tranche A (Senior)	300M	MRR + 0.5%
Tranche B (Mezzanine)	80M	MRR + 1.5%
Tranche C (Equity)	30M	Variable
Total	410M

CFA L1 Notes

探索

固定收益 Fixed Income

固定收益 Fixed Income

科目概览 Overview

R47: Fixed-Income Instrument Features 固收工具特征

47.1 固收工具的基本特征

核心要素一览

按到期期限分类

Coupon 类型

Yield（收益率）与 Price 的反向关系

Yield Curve 收益率曲线

47.2 Bond Indenture 债券契约与 Covenants

偿还来源 Sources of Repayment

Covenants 条款

R48: Fixed-Income Cash Flows and Types 固收现金流与类型

48.1 本金偿还结构

Bullet Structure（子弹结构）

Fully Amortizing（完全摊销）

Partially Amortizing（部分摊销 + Balloon Payment）

Sinking Fund Provision

Waterfall Structure

48.2 各类 Coupon 结构

Inflation-Linked Bonds 两种主要结构

48.3 Embedded Options（内嵌期权）

Callable Bond 定价关系

Convertible Bond 关键术语

Contingent Convertible Bonds (CoCos)

48.4 债券的法律/税务考量

债券收入的税务处理

R49: Fixed-Income Issuance and Trading 固收发行与交易

49.1 债券市场分类

按发行人类型 (Issuer Type)

按信用质量 (Credit Quality)

按到期期限

49.2 Fixed-Income Indexes

49.3 一级市场与二级市场

Primary Market（一级市场）

Secondary Market（二级市场）

R50: Fixed-Income Markets for Corporate Issuers 公司固收市场

50.1 非金融公司的短期融资

Commercial Paper (CP)

50.2 金融机构的短期融资

50.3 Repurchase Agreements (Repos) 回购协议

Variation Margin

Repo Rate 影响因素

Repo 类型

50.4 Investment Grade vs High Yield

R51: Fixed-Income Markets for Government Issuers 政府固收市场

51.1 Sovereign Debt 主权债务

Developed vs Emerging Market

Debt Management Policy

51.2 Non-Sovereign Government Debt

51.3 政府债券发行 —— 拍卖机制

R52: Fixed-Income Bond Valuation 债券估值

52.1 债券定价基本原理

Annual Coupon Bond 定价公式

Semiannual Coupon Bond 定价公式

例题 1：Annual Coupon Bond Pricing

例题 2：Semiannual Coupon Bond Pricing

例题 3：Calculating YTM

52.2 Accrued Interest, Flat Price & Full Price

52.3 Price-Yield 关系总结

52.4 Matrix Pricing 矩阵定价

R53: Yield and Yield Spread Measures for Fixed-Rate Bonds 固定利率债券收益率

53.1 各种 Yield Measures

Periodicity 与 Effective Annual Yield (EAY)

Current Yield（当前收益率）

Simple Yield

Yield to Call & Yield to Worst

Option-Adjusted Yield (OAY)

53.2 Yield Spread Measures

Z-spread 例题

OAS vs Z-spread

R54: Yield and Yield Spread Measures for Floating-Rate Instruments 浮动利率工具收益率

54.1 FRN 的收益率度量

FRN 估值例题

54.2 Money Market Yield Measures

关键公式

例题：Money Market Yields 转换