Forward Pricing 远期定价

一句话定义

Forward price 由 no-arbitrage 条件决定：它等于标的资产的现价加上持有成本、减去持有收益后，按无风险利率复利到到期日的值，即 $F_0(T)=[S_0+PV(\text{costs})-PV(\text{benefits})](1+Rf{)}^T$。

概念解析 Explanation

Forward pricing 的核心逻辑是 replication（复制）：

• 一个 long forward 的 payoff（到期收到标的、支付 forward price）可以用”今天借钱买入标的并持有到期”来复制
• 两种策略有完全相同的到期 payoff → 它们今天的成本必须相同（no-arbitrage）
• 因此 forward price = 今天买入并持有标的到期的全部成本

两个关键概念：

• Pricing = 确定合约签订时的 forward price $F_0(T)$（使合约初始价值为零）
• Valuation = 在合约生命期内确定 forward 的市场价值 $V_t(T)$

核心公式 Formula

基础公式（无持有成本/收益）

$F_0(T)=S_0\times (1+Rf{)}^T$

含持有成本和收益

$F_0(T)=[S_0+P{V}_0(\text{costs})-P{V}_0(\text{benefits})]\times (1+Rf{)}^T$

• Costs：存储费、保险费（主要针对 commodities）→ 增加 forward price
• Benefits：股利、利息、convenience yield → 降低 forward price

连续复利版本

场景	Forward Price
无持有成本/收益	$F_0=S_0{e}^{rT}$
有存储成本 (rate = c)	$F_0=S_0{e}^{(r+c)T}$
有持续收益 (rate = b)	$F_0=S_0{e}^{(r-b)T}$
有存储成本和收益	$F_0=S_0{e}^{(r+c-b)T}$

Forward Value（合约生命期内的估值）

时间点	对买方的价值
Initiation $(t=0)$	$V_0=0$
During life $(0<t<T)$	$V_t=S_t-F_0(T)(1+Rf{)}^{-(T-t)}$
Expiration $(t=T)$	$V_T=S_T-F_0(T)$

含持有成本/收益的一般形式： $V_t=[S_t+P{V}_t(\text{costs})-P{V}_t(\text{benefits})]-F_0(T)(1+Rf{)}^{-(T-t)}$

Currency Forward

${\text{Forward rate}}_{p/b}={\text{Spot rate}}_{p/b}\times \frac{1+r_{\text{price currency}}}{1+r_{\text{base currency}}}$

图解 Visual

flowchart TB
    subgraph 复制["Replicating Portfolio"]
        direction LR
        A["t=0: 借 S₀ 元"]
        B["t=0: 买入标的资产"]
        C["t=T: 持有资产价值 S_T"]
        D["t=T: 偿还贷款 S₀(1+Rf)^T"]
        A --> B --> C
        A --> D
    end
    subgraph Forward["Long Forward"]
        direction LR
        E["t=0: 签约（成本=0）"]
        F["t=T: 收到资产、支付 F₀"]
        E --> F
    end
    复制 ---|"Payoff 完全相同"| Forward
    Result["No-arbitrage → F₀ = S₀(1+Rf)^T"]
    复制 --> Result
    Forward --> Result

计算示例 Worked Example

例题 1：基础 Forward Price

题目：某无股利股票现价 80，1 年期无风险利率 4%。求 1 年期 forward price。

$F_0(1)=80\times 1.04=83.20$

例题 2：含股利的 Forward Price

题目：某股票现价 100，6个月后支付 2 股利，1 年期 Rf = 5%。求 1 年期 forward price。

股利的现值：$PV(\text{div})=2/(1.05{)}^{0.5}=1.952$

$F_0(1)=(100-1.952)\times 1.05=98.048\times 1.05=102.95$

对比无股利：100 \times 1.05 = 105$。股利使forwardprice降低了约$2.05。

例题 3：连续复利

题目：股票指数 = 2,000，连续股利率 1.5%，连续无风险利率 4%，3 个月期。

$F_0=2,000\times e^{(0.04-0.015)\times 0.25}=2,000\times e^{0.00625}=2,000\times 1.00627=2,012.54$

例题 4：Forward Valuation

题目：3 个月前签订了一个 1 年期 forward，$F_0=83.20$（来自例题 1），Rf = 4%。现在标的价格 = $85。求 forward 对买方的当前价值。

$V_{0.25}=85-83.20\times (1.04{)}^{-0.75}=85-83.20\times 0.9709=85-80.78=4.22$

例题 5：套利

题目：上述例题 1 中，若 forward 市场报价 85（高于理论值 83.20），如何套利？

Forward price 太高 → “卖贵买便宜”：

1. 卖出 forward（约定以 85 卖出股票）
2. 借 80 买入股票（借款利率 4%）
3. 到期：交付股票收到 85，偿还贷款 83.20
4. 无风险利润 = 85 - 83.20 = 1.80

考试要点 Exam Focus

高频考点

1. 计算 forward price — 有无股利/存储成本/convenience yield 的各种变形
2. Forward value 三个时间点 — 初始=0、期间=spot - PV(forward price)、到期=spot - forward price
3. 套利方向判断 — forward 价格偏高：卖 forward + 买标的；偏低：买 forward + 卖标的
4. Costs increase, benefits decrease forward price — 这个方向必须记牢

易错点

• Forward price 在合约生命期内不变（除非有 MTM 条款），变的是 value
• 计算含股利的 forward price 时，先减去 PV(dividend)，再乘以 $(1+Rf{)}^T$
• Currency forward 公式中注意哪个是 price currency 哪个是 base currency

涉及科目 Appears In

• 衍生品 Derivatives — R69, R70: 核心定价和估值内容
• 固定收益 — yield curve 和 implied forward rates 的计算
• 经济学 — covered interest rate parity 与 currency forwards

相关概念 Related Concepts

• TVM — Forward pricing 的数学基础就是 TVM
• Put-Call Parity — Put-call-forward parity 将 forward 与 options 联系起来
• Yield Curve — Spot rates 用于计算 implied forward rates 和 swap pricing
• 风险溢价 — Forward pricing 基于 risk-neutral valuation，用 Rf 而非含风险溢价的利率