Duration 久期

一句话定义

Duration 是衡量债券价格对利率变化敏感程度的核心指标。Macaulay Duration 是现金流的加权平均回收时间，Modified Duration 是 YTM 变化 1% 时价格的近似百分比变动。

概念解析 Explanation

Duration 有多重含义，在不同语境下指代不同的度量：

1. Macaulay Duration：以”年”为单位的加权平均回收时间。权重是各期现金流的现值占总价格的比例。它同时也是 price risk 和 reinvestment risk 的平衡点——当投资期限等于 Macaulay Duration 时，两种风险恰好相互抵消。

2. Modified Duration：将 Macaulay Duration 除以 $(1+y/n)$ 后得到的价格敏感度指标，直接给出 YTM 变化 1% 时价格的近似百分比变动。

3. Effective Duration：用 benchmark yield curve 变化代替 YTM 变化计算的 duration，适用于含 embedded options 的债券（callable/putable/MBS）。

4. Key Rate Duration：衡量收益率曲线上某一特定期限利率变化对价格的影响。

5. Money Duration / Dollar Duration：Modified Duration 乘以市场价值，给出 YTM 变化时价格的绝对金额变动。

6. PVBP (Price Value of a Basis Point)：YTM 变化 1 bp (0.01%) 时价格的绝对变动。

Duration 的性质

因素变化	Duration 变化方向	直觉
Maturity 增加	增大	现金流更远
Coupon 增加	减小	更多权重在前期
YTM 增加	减小	远期 PV 降低更多
Time passes	减小	接近到期（但 coupon date 上微跳）

核心公式 Formula

$MacD=\frac{{\sum }_{t=1}^{n}t\times \frac{C{F}_t}{(1+y{)}^t}}{P}$

其中：

• $MacD$ = 麦考利久期（Macaulay duration）
• $t$ = 第 t 期（period t）
• $C{F}_t$ = 第 t 期现金流（cash flow at period t）
• $y$ = 到期收益率（yield to maturity）
• $P$ = 债券价格（bond price）
• $n$ = 总期数（total number of periods）

$ModDur=\frac{MacD}{1+y/n}$

其中：

• $ModDur$ = 修正久期（modified duration）
• $MacD$ = 麦考利久期（Macaulay duration）
• $y$ = 年到期收益率（annual yield to maturity）
• $n$ = 每年付息次数（payment frequency per year）

$ApproxModDur=\frac{V_{-}-V_{+}}{2\times V_0\times \Delta y}$

其中：

• $V_{-}$ = 收益率下降 $\Delta y$ 后的债券价格（bond price when yield decreases）
• $V_{+}$ = 收益率上升 $\Delta y$ 后的债券价格（bond price when yield increases）
• $V_0$ = 当前债券价格（current bond price）
• $\Delta y$ = 收益率变动幅度（yield change）

$MoneyDur=ModDur\times P$

其中：

• $MoneyDur$ = 货币久期（money duration）
• $ModDur$ = 修正久期（modified duration）
• $P$ = 债券市场价格（bond market price）

$PVBP=ModDur\times P\times 0.0001$

其中：

• $PVBP$ = 一个基点的价格变动（price value of a basis point）
• $ModDur$ = 修正久期（modified duration）
• $P$ = 债券市场价格（bond market price）

$EffDur=\frac{V_{-}-V_{+}}{2\times V_0\times \Delta Curve}$

其中：

• $EffDur$ = 有效久期（effective duration）
• $V_{-}$ = 基准曲线下移 $\Delta Curve$ 后的债券价格（bond price when curve decreases）
• $V_{+}$ = 基准曲线上移 $\Delta Curve$ 后的债券价格（bond price when curve increases）
• $V_0$ = 当前债券价格（current bond price）
• $\Delta Curve$ = 基准收益率曲线变动幅度（benchmark curve change）

一阶价格估算：

$\%\Delta P\approx -ModDur\times \Delta y$

其中：

• $\%\Delta P$ = 债券价格百分比变动（percentage change in bond price）
• $ModDur$ = 修正久期（modified duration）
• $\Delta y$ = 收益率变动幅度（yield change）

图解 Visual

Duration 是 price-yield 曲线在当前点处切线的（负）斜率。这条切线是线性近似，在 yield 变化不大时效果很好，但 yield 变化较大时需要 Convexity 修正。

关键观察

• 小幅 yield 变动（蓝色曲线 ≈ 橙色切线）：Duration 单独估价误差很小
• 大幅 yield 变动（曲线偏离切线）：曲线始终在切线之上 → Duration 总是低估真实价格
  • Yield 上升时，价格实际跌得更少（收益方）
  • Yield 下降时，价格实际涨得更多（收益方）
• 这种”凸性奖励”（positive convexity）就是 Convexity 修正项的来源

计算示例 Worked Example

例题：5 年期、11% 年付息债券，YTM = 15%，价格 86.59，MacD = 4.025。

Modified Duration: $ModDur=\frac{4.025}{1+0.15}=3.50$

价格估算：YTM 下降 50 bps ($\Delta y=-0.005$) $\%\Delta P\approx -3.50\times (-0.005)=+1.75\%$ $P_{new}\approx 86.59\times 1.0175=88.10$

Approximate ModDur（$\Delta y=25$ bps）: 若 $V_{-}=100.979$, $V_{+}=99.035$, $V_0=100$: $ApproxModDur=\frac{100.979-99.035}{2\times 100\times 0.0025}=3.888$

考试要点 Exam Focus

1. 必须能快速区分 Macaulay、Modified、Effective Duration 的适用场景
2. Modified Duration 只适用于 option-free 债券；含权债券用 Effective Duration
3. Portfolio Duration = 加权平均（假设 parallel shift）
4. Key Rate Duration 用于非平行移动场景
5. FRN 的 Duration 约等于距下次 reset date 的时间（非常低）
6. Duration + Convexity 联合估价是高频计算题

涉及科目 Appears In

• 固定收益 Fixed Income R54-R59

相关概念 Related Concepts

• Convexity 凸性 - Duration 的二阶修正项
• Yield Curve 收益率曲线 - Effective Duration 和 Key Rate Duration 的基准
• Time Value of Money - Duration 计算的基础
• Risk Premium 风险溢价 - Spread 变化也用 Duration 估算价格影响
• Options 期权 - 含 embedded options 的债券需用 effective duration